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9.º ano
Assunto: 9.º ano > Tema 3
Lição 3: Equações do 2.º grau- Escrita de uma equação de 2.º grau na forma canónica
- Resolução de equações incompletas de 2.º grau
- Resolução de equações de 2.º grau pelo método da raiz quadrada
- Resolver equações incompletas de 2.º grau
- Lei do anulamento do produto
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- Completar ou identificar erros na resolução de equações de 2.º grau
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- Resolver equações de 2.º grau: passo a passo
- Revisão sobre resolução de equações do 2.º grau
- Resolução de equações quadráticas utilizando a raíz quadrada
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- Resolver equações de 2.º grau
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Resolução de equações de 2.º grau pelo método da raiz quadrada
Aprender a resolver equações quadráticas como x^2=36 ou (x-2)^2=49.
Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição
O que vais aprender nesta lição
Até agora, tens resolvido equações lineares, que incluem termos constantes — números — e termos com a variável elevada a1, uma vez que .
Agora vais aprender a resolver equações quadráticas, que incluem termos onde a variável é elevada à segunda potência, .
Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações quadráticas que vais aprender a resolver:
Agora vamos trabalhar.
Resolver e equações semelhantes
Supõe que queremos resolver a equação . Primeiro vamos verbalizar o que é que a equação nos pergunta. A equação pergunta qual é o número, que multiplicado por si, é igual a 36.
Se esta pergunta te soa familiar, é porque esta é a definição de raiz quadrada de , a qual é expressa matematicamente por .
A solução completa da equação é a seguinte:
Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.
Qual o significado do sinal
Repara que cada número positivo tem duas raízes: uma raiz quadrada positiva e uma raiz quadrada negativa. Por exemplo, tanto como , quando elevados ao quadrado, são igual a . Portanto, esta equação tem duas soluções.
O sinal é apenas uma forma eficiente de representar este conceito matematicamente. Por exemplo, significa " ou ".
Uma nota sobre operações inversas
Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: se a variável tinha adicionado a ela, nós subtraímos em ambos os membros. Se a variável foi multiplicada por , dividimos ambos os membros por .
A operação inversa de fazer o quadrado é aplicar a raiz quadrada. No entanto, ao contrário de outras operações, quando fazemos a raiz quadrada não podemos esquecer que temos a raiz quadrada positiva e a raiz quadrada negativa.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Como resolver e equações semelhantes
Este é o aspeto da resolução da equação :
Portanto, as soluções são e .
Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.
Isolar
Ao usar a operação inversa de fazer a raiz quadrada, removemos o sinal do expoente 2 (o quadrado). Isto era importante para isolar , mas ainda tivemos que adicionar na última etapa, a fim de realmente isolar .
Compreensão das soluções
O exercício termina aqui . Que compreensão desta solução temos? Recorda que significa " ou ." Portanto, devemos dividir a nossa resposta em: ou .
Isto dá-nos duas soluções, e .
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Porque motivo não devemos desenvolver os parênteses
Voltemos à nossa equação de exemplo, . Supõe que queríamos desenvolver os parênteses que existem. Afinal, é isso que fazemos nas equações lineares, certo?
Desenvolver os parênteses resulta na seguinte equação:
Se quiséssemos tirar a raiz quadrada desta equação, teríamos que tirar a raiz quadrada de . Mas isto dá-nos , que não nos ajuda.
Em contraste, aplicar a raiz quadrada em expressões como ou dá-nos expressões simpáticas como ou .
Portanto, é realmente útil manter algumas fatorizações em equações quadráticas, porque isso permite-nos aplicar a raiz quadrada.
Resolução de e equações semelhantes
Nem todas as equações quadráticas são resolvidas imediatamente aplicando a raiz quadrada. Às vezes temos que isolar o termo elevado ao quadrado antes de fazer a sua raiz.
Por exemplo, para resolver a equação primeiro devemos isolar o . Fazemos isso da mesma forma que isolamos o termo numa equação linear.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
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