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9.º ano

Assunto: 9.º ano > Tema 3

Lição 3: Equações do 2.º grau

Resolução de equações de 2.º grau pelo método da raiz quadrada

Aprender a resolver equações quadráticas como x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

O que vais aprender nesta lição

Até agora, tens resolvido equações lineares, que incluem termos constantes — números — e termos com a variável elevada a1, uma vez que

x^{1} = x

Agora vais aprender a resolver equações quadráticas, que incluem termos onde a variável é elevada à segunda potência,

x^{2}

Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações quadráticas que vais aprender a resolver:

x^{2} = 36

(x - 2)^{2} = 49

[Por que é que esta equação é do segundo grau?]

2 x^{2} + 3 = 131

Agora vamos trabalhar.

Resolver $x^{2} = 36$ ‍ e equações semelhantes

Supõe que queremos resolver a equação

x^{2} = 36

. Primeiro vamos verbalizar o que é que a equação nos pergunta. A equação pergunta qual é o número, que multiplicado por si, é igual a 36.

Se esta pergunta te soa familiar, é porque esta é a definição de raiz quadrada de

36

, a qual é expressa matematicamente por

\sqrt{36}

A solução completa da equação é a seguinte:

\begin{aligned} x^{2} & = 36 \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{36} & Aplicar a raiz quadrada. \\ x & = \pm \sqrt{36} \\ x & = \pm 6 \end{aligned}

Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.

Qual o significado do sinal $\pm$ ‍

Repara que cada número positivo tem duas raízes: uma raiz quadrada positiva e uma raiz quadrada negativa. Por exemplo, tanto

6

como

- 6

, quando elevados ao quadrado, são igual a

36

. Portanto, esta equação tem duas soluções.

O sinal

\pm

é apenas uma forma eficiente de representar este conceito matematicamente. Por exemplo,

\pm 6

significa "

6

- 6

Uma nota sobre operações inversas

Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: se a variável tinha

3

adicionado a ela, nós subtraímos

3

em ambos os membros. Se a variável foi multiplicada por

4

, dividimos ambos os membros por

4

A operação inversa de fazer o quadrado é aplicar a raiz quadrada. No entanto, ao contrário de outras operações, quando fazemos a raiz quadrada não podemos esquecer que temos a raiz quadrada positiva e a raiz quadrada negativa.

Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.

Problema 1

Resolver $x^{2} = 16$ ‍.

x = \pm

Problema 2

Resolver $x^{2} = 81$ ‍.

x = \pm

Problema 3

Resolver $x^{2} = 5$ ‍.

Como resolver $(x - 2)^{2} = 49$ ‍ e equações semelhantes

Este é o aspeto da resolução da equação

(x - 2)^{2} = 49

\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ \sqrt{(x - 2)^{2}} & = \sqrt{49} & Aplicar a raiz quadrada. \\ x - 2 & = \pm 7 \\ x & = \pm 7 + 2 & Adicionar 2. \end{aligned}

Portanto, as soluções são $x = 9$ ‍ e $x = - 5$ ‍.

Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.

Isolar $x$ ‍

Ao usar a operação inversa de fazer a raiz quadrada, removemos o sinal do expoente 2 (o quadrado). Isto era importante para isolar

x

, mas ainda tivemos que adicionar

2

na última etapa, a fim de realmente isolar

x

Compreensão das soluções

O exercício termina aqui

x = \pm 7 + 2

. Que compreensão desta solução temos? Recorda que

\pm 7

significa "

+ 7

- 7

." Portanto, devemos dividir a nossa resposta em:

x = 7 + 2

x = - 7 + 2

Isto dá-nos duas soluções,

x = 9

x = - 5

[Verificar que estas são realmente as soluções.]

Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.

Problema 4

Resolver $(x + 3)^{2} = 25$ ‍.

Problema 5

Resolver $(2 x - 1)^{2} = 9$ ‍.

Problema 6

Resolver $(x - 5)^{2} = 7$ ‍.

Porque motivo não devemos desenvolver os parênteses

Voltemos à nossa equação de exemplo,

(x - 2)^{2} = 49

. Supõe que queríamos desenvolver os parênteses que existem. Afinal, é isso que fazemos nas equações lineares, certo?

Desenvolver os parênteses resulta na seguinte equação:

x^{2} - 4 x + 4 = 49

Se quiséssemos tirar a raiz quadrada desta equação, teríamos que tirar a raiz quadrada de

x

. Mas isto dá-nos

\sqrt{x}

, que não nos ajuda.

Em contraste, aplicar a raiz quadrada em expressões como

x^{2}

(x - 2)^{2}

dá-nos expressões simpáticas como

x

(x - 2)

Portanto, é realmente útil manter algumas fatorizações em equações quadráticas, porque isso permite-nos aplicar a raiz quadrada.

Resolução de $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍ e equações semelhantes

Nem todas as equações quadráticas são resolvidas imediatamente aplicando a raiz quadrada. Às vezes temos que isolar o termo elevado ao quadrado antes de fazer a sua raiz.

Por exemplo, para resolver a equação

2 x^{2} + 3 = 131

primeiro devemos isolar o

x^{2}

. Fazemos isso da mesma forma que isolamos o termo

x

numa equação linear.

\begin{aligned} 2 x^{2} + 3 & = 131 \\ 2 x^{2} & = 128 & Subtrair 3. \\ x^{2} & = 64 & Dividir por 2. \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{64} & Aplicar a raiz quadrada. \\ x & = \pm 8 \end{aligned}

Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.

Problema 7

Resolver $3 x^{2} - 7 = 5$ ‍.

Problema 8

Resolver $4 (x - 1)^{2} + 2 = 38$ ‍.

Desafio

Resolver $x^{2} + 8 x + 16 = 9$ ‍.

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O que vais aprender nesta lição

Resolver x2=36‍ e equações semelhantes

Qual o significado do sinal ±‍

Uma nota sobre operações inversas

Como resolver (x−2)2=49‍ e equações semelhantes

Isolar x‍

Compreensão das soluções

Porque motivo não devemos desenvolver os parênteses

Resolução de 2x2+3=131‍ e equações semelhantes

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Qual o significado do sinal $\pm$ ‍

Como resolver $(x - 2)^{2} = 49$ ‍ e equações semelhantes

Isolar $x$ ‍

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