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Conteúdo principal

Resolução de equações de 2.º grau pelo método da raiz quadrada

Aprender a resolver equações quadráticas como x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

O que vais aprender nesta lição

Até agora, tens resolvido equações lineares, que incluem termos constantes — números — e termos com a variável elevada a1, uma vez que x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Agora vais aprender a resolver equações quadráticas, que incluem termos onde a variável é elevada à segunda potência, x, squared.
Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações quadráticas que vais aprender a resolver:
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
Agora vamos trabalhar.

Resolver x, squared, equals, 36 e equações semelhantes

Supõe que queremos resolver a equação x, squared, equals, 36. Primeiro vamos verbalizar o que é que a equação nos pergunta. A equação pergunta qual é o número, que multiplicado por si, é igual a 36.
Se esta pergunta te soa familiar, é porque esta é a definição de raiz quadrada de 36, a qual é expressa matematicamente por square root of, 36, end square root.
A solução completa da equação é a seguinte:
x2=36x2=36Aplicar a raiz quadrada.x=±36x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{36}&&\text{Aplicar a raiz quadrada.}\\\\ x&=\pm\sqrt{36}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.

Qual o significado do sinal plus minus

Repara que cada número positivo tem duas raízes: uma raiz quadrada positiva e uma raiz quadrada negativa. Por exemplo, tanto 6 como minus, 6, quando elevados ao quadrado, são igual a 36. Portanto, esta equação tem duas soluções.
O sinal plus minus é apenas uma forma eficiente de representar este conceito matematicamente. Por exemplo, plus minus, 6 significa "6 ou minus, 6".

Uma nota sobre operações inversas

Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: se a variável tinha 3 adicionado a ela, nós subtraímos 3 em ambos os membros. Se a variável foi multiplicada por 4, dividimos ambos os membros por 4.
A operação inversa de fazer o quadrado é aplicar a raiz quadrada. No entanto, ao contrário de outras operações, quando fazemos a raiz quadrada não podemos esquecer que temos a raiz quadrada positiva e a raiz quadrada negativa.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Problema 1
Resolver x, squared, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Resolver x, squared, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Resolver x, squared, equals, 5.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Como resolver left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 e equações semelhantes

Este é o aspeto da resolução da equaçãoleft parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49:
(x2)2=49(x2)2=49Aplicar a raiz quadrada.x2=±7x=±7+2Adicionar 2.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\sqrt{49}&&\text{Aplicar a raiz quadrada.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{Adicionar 2.}\end{aligned}
Portanto, as soluções são x, equals, 9 e x, equals, minus, 5.
Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.

Isolar x

Ao usar a operação inversa de fazer a raiz quadrada, removemos o sinal do expoente 2 (o quadrado). Isto era importante para isolar x, mas ainda tivemos que adicionar 2 na última etapa, a fim de realmente isolar x.

Compreensão das soluções

O exercício termina aqui x, equals, plus minus, 7, plus, 2. Que compreensão desta solução temos? Recorda que plus minus, 7 significa "plus, 7 ou minus, 7." Portanto, devemos dividir a nossa resposta em: x, equals, 7, plus, 2 ou x, equals, minus, 7, plus, 2.
Isto dá-nos duas soluções, x, equals, 9 e x, equals, minus, 5.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Problema 4
Resolver left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Problema 5
Resolver left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Problema 6
Resolver left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Porque motivo não devemos desenvolver os parênteses

Voltemos à nossa equação de exemplo, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49. Supõe que queríamos desenvolver os parênteses que existem. Afinal, é isso que fazemos nas equações lineares, certo?
Desenvolver os parênteses resulta na seguinte equação:
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Se quiséssemos tirar a raiz quadrada desta equação, teríamos que tirar a raiz quadrada de x. Mas isto dá-nos square root of, x, end square root, que não nos ajuda.
Em contraste, aplicar a raiz quadrada em expressões como x, squared ou left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared dá-nos expressões simpáticas como x ou left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.
Portanto, é realmente útil manter algumas fatorizações em equações quadráticas, porque isso permite-nos aplicar a raiz quadrada.

Resolução de 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 e equações semelhantes

Nem todas as equações quadráticas são resolvidas imediatamente aplicando a raiz quadrada. Às vezes temos que isolar o termo elevado ao quadrado antes de fazer a sua raiz.
Por exemplo, para resolver a equação 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 primeiro devemos isolar o x, squared. Fazemos isso da mesma forma que isolamos o termo x numa equação linear.
2x2+3=1312x2=128Subtrair 3.x2=64Dividir por 2.x2=64Aplicar a raiz quadrada.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{Subtrair 3.}\\\\ x^2&=64&&\text{Dividir por 2.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{64}&&\text{Aplicar a raiz quadrada.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Problema 7
Resolver 3, x, squared, minus, 7, equals, 5.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Problema 8
Resolver 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Desafio
Resolver x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.