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9.º ano
Assunto: 9.º ano > Tema 3
Lição 3: Equações do 2.º grau- Escrita de uma equação de 2.º grau na forma canónica
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- Resolução de equações de 2.º grau pelo método da raiz quadrada
- Resolver equações incompletas de 2.º grau
- Lei do anulamento do produto
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- Completar ou identificar erros na resolução de equações de 2.º grau
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Resolução de equações de 2.º grau pelo método da raiz quadrada
Aprender a resolver equações quadráticas como x^2=36 ou (x-2)^2=49.
Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição
O que vais aprender nesta lição
Até agora, tens resolvido equações lineares, que incluem termos constantes — números — e termos com a variável elevada a1, uma vez que x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Agora vais aprender a resolver equações quadráticas, que incluem termos onde a variável é elevada à segunda potência, x, squared.
Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações quadráticas que vais aprender a resolver:
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
Agora vamos trabalhar.
Resolver x, squared, equals, 36 e equações semelhantes
Supõe que queremos resolver a equação x, squared, equals, 36. Primeiro vamos verbalizar o que é que a equação nos pergunta. A equação pergunta qual é o número, que multiplicado por si, é igual a 36.
Se esta pergunta te soa familiar, é porque esta é a definição de raiz quadrada de 36, a qual é expressa matematicamente por square root of, 36, end square root.
A solução completa da equação é a seguinte:
Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.
Qual o significado do sinal plus minus
Repara que cada número positivo tem duas raízes: uma raiz quadrada positiva e uma raiz quadrada negativa. Por exemplo, tanto 6 como minus, 6, quando elevados ao quadrado, são igual a 36. Portanto, esta equação tem duas soluções.
O sinal plus minus é apenas uma forma eficiente de representar este conceito matematicamente. Por exemplo, plus minus, 6 significa "6 ou minus, 6".
Uma nota sobre operações inversas
Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: se a variável tinha 3 adicionado a ela, nós subtraímos 3 em ambos os membros. Se a variável foi multiplicada por 4, dividimos ambos os membros por 4.
A operação inversa de fazer o quadrado é aplicar a raiz quadrada. No entanto, ao contrário de outras operações, quando fazemos a raiz quadrada não podemos esquecer que temos a raiz quadrada positiva e a raiz quadrada negativa.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Como resolver left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 e equações semelhantes
Este é o aspeto da resolução da equaçãoleft parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49:
Portanto, as soluções são x, equals, 9 e x, equals, minus, 5.
Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.
Isolar x
Ao usar a operação inversa de fazer a raiz quadrada, removemos o sinal do expoente 2 (o quadrado). Isto era importante para isolar x, mas ainda tivemos que adicionar 2 na última etapa, a fim de realmente isolar x.
Compreensão das soluções
O exercício termina aqui x, equals, plus minus, 7, plus, 2. Que compreensão desta solução temos? Recorda que plus minus, 7 significa "plus, 7 ou minus, 7." Portanto, devemos dividir a nossa resposta em: x, equals, 7, plus, 2 ou x, equals, minus, 7, plus, 2.
Isto dá-nos duas soluções, x, equals, 9 e x, equals, minus, 5.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Porque motivo não devemos desenvolver os parênteses
Voltemos à nossa equação de exemplo, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49. Supõe que queríamos desenvolver os parênteses que existem. Afinal, é isso que fazemos nas equações lineares, certo?
Desenvolver os parênteses resulta na seguinte equação:
Se quiséssemos tirar a raiz quadrada desta equação, teríamos que tirar a raiz quadrada de x. Mas isto dá-nos square root of, x, end square root, que não nos ajuda.
Em contraste, aplicar a raiz quadrada em expressões como x, squared ou left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared dá-nos expressões simpáticas como x ou left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.
Portanto, é realmente útil manter algumas fatorizações em equações quadráticas, porque isso permite-nos aplicar a raiz quadrada.
Resolução de 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 e equações semelhantes
Nem todas as equações quadráticas são resolvidas imediatamente aplicando a raiz quadrada. Às vezes temos que isolar o termo elevado ao quadrado antes de fazer a sua raiz.
Por exemplo, para resolver a equação 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 primeiro devemos isolar o x, squared. Fazemos isso da mesma forma que isolamos o termo x numa equação linear.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
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