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9.º ano
Assunto: 9.º ano > Tema 3
Lição 4: Completamento do quadrado- Resolução de equações de 2.º grau por completamento do quadrado
- Resolução de equações quadráticas completando o quadrado
- Completamento do quadrado: introdução
- Completamento do quadrado: termo constante em falta
- Exemplo resolvido: reescrever expressões por completamento do quadrado
- Exemplo resolvido: Reescrever e resolver equações por completamento do quadrado
- Completamento do quadrado: Termo de 2.º grau com coeficiente igual a 1
- Completamento do quadrado: Termo de 2.º grau com coeficiente diferente de 1
- Resolução de equações de 2.º grau por completamento do quadrado
- Exemplo 2: Completar o quadrado
- Completamento do quadrado (revisão)
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Resolução de equações quadráticas completando o quadrado
Por exemplo, resolver x ²+ 6x = -2, manipulando a expressão e transformando-a em (x + 3)² = 7 e, em seguida, aplicando a raiz quadrada.
O que deves saber antes desta lição
O que vais aprender nesta lição
Até agora, resolvemos equações do segundo grau pela raiz quadrada ou por fatorização. Estes métodos são relativamente simples e eficientes, quando aplicáveis. Infelizmente, nem sempre é o caso.
Nesta lição, vamos aprender um método para resolver qualquer tipo de equação do segundo grau.
Resolução de equações quadráticas, completando o quadrado
Considera a equação . Os métodos da raiz quadrada e da fatorização não são aplicavéis aqui.
Mas, nem toda a esperança está perdida! Podemos usar o método chamado completar o quadrado. Vamos começar pela solução e depois, analisá-la mais detalhadamente.
Em conclusão, as soluções são e .
O que é que aconteceu?
Adicionar a na linha teve o resultado feliz de transformar a expressão num caso notável, que pode ser fatorizado como . Isto permitiu-nos resolver a equação aplicando a raiz quadrada.
É claro que isto não foi coincidência. O número foi escolhido cuidadosamente para que a expressão resultante fosse um caso notável.
Como completar o quadrado
Para entender porque é que se escolheu o devemos fazer-nos a seguinte questão: Se é o início de um caso notável, qual deve ser o termo constante?
Vamos supor que a expressão pode ser fatorizada como o caso notável , onde o valor da constante é ainda desconhecido. Esta expressão é desenvolvida como , que nos diz duas coisas:
- O coeficiente de
, que sabemos ser , deve ser igual a . Isso significa que . - O número constante que precisamos somar é igual a
, ou seja, .
Tenta completar alguns quadrados por ti próprio.
Este desafio dá-nos um atalho para completar o quadrado, para aqueles que gostam de atalhos e não gostam de memorizar. Mostra-nos que, para completar a expressão e torná-la num caso notável, onde é qualquer número, precisamos adicionar à expressão.
Por exempl, a fim de completar o quadrado num caso notável, adicionámos à expressão.
Mais resoluções de equações
Muito bem! Agora que estás um especialista em completar quadrados, vamos voltar ao processo de resolução de equações usando o nosso método.
Vamos ver um novo exemplo, a equação .
Para tornar a expressão original da esquerda num caso notável, adicionámos na linha . Como sempre, com equações, fizemos a mesma operação no segundo membro, o que fez aumentar de para .
Em geral, a escolha do número para adicionar à expressão para completar o quadrado não depende do segundo membro, mas devemos sempre adicionar esse número aos dois membros.
Agora é a tua vez de resolver algumas equações.
Como organizar a equação antes de completar o quadrado
Regra 1: Separar os termos com variáveis do termo constante
Este é o aspeto da equação :
Não ajuda completar o quadrado num dos membros da equação se tivermos um termo em no outro membro. É por isso que subtraímos na linha , colocando todos os termos com variáveis no primeiro membro.
Além do mais, para completar a expressão e transformá-la num caso notável, precisamos adicionar à expressão. No entanto, antes de fazer isso, é preciso ter certeza de que todos os termos constantes estão no outro membro da equação. É por isso que adicionamos na linha , isolando .
Regra 2: Certifica-te que o coeficiente de é igual a .
Este é o aspeto da equação :
O método de completar o quadrado só funciona se o coeficiente de for .
É por isso que na linha dividimos pelo coeficiente de , que é .
Por vezes, ao dividir pelo coeficiente de , os outros coeficientes podem tornar-se frações. Isso não significa que se tenha feito algo de errado, mas apenas que para resolver a equação teremos de trabalhar com esses números.
Agora é a tua vez de resolver uma equação destas.
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