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9.º ano

Assunto: 9.º ano > Tema 3

Lição 4: Completamento do quadrado

Resolução de equações quadráticas completando o quadrado

Por exemplo, resolver x ²+ 6x = -2, manipulando a expressão e transformando-a em (x + 3)² = 7 e, em seguida, aplicando a raiz quadrada.

O que deves saber antes desta lição

O que vais aprender nesta lição

Até agora, resolvemos equações do segundo grau pela raiz quadrada ou por fatorização. Estes métodos são relativamente simples e eficientes, quando aplicáveis. Infelizmente, nem sempre é o caso.

Nesta lição, vamos aprender um método para resolver qualquer tipo de equação do segundo grau.

Resolução de equações quadráticas, completando o quadrado

Considera a equação

x^{2} + 6 x = - 2

. Os métodos da raiz quadrada e da fatorização não são aplicavéis aqui.

[Por que razão é assim?]

Mas, nem toda a esperança está perdida! Podemos usar o método chamado completar o quadrado. Vamos começar pela solução e depois, analisá-la mais detalhadamente.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & Adicionar 9, completar o quadrado. \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & Fatorizar a expressão da esquerda. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & Aplicar a raiz quadrada. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & Subtrair 3. \end{aligned}

Em conclusão, as soluções são

x = \sqrt{7} - 3

x = - \sqrt{7} - 3

O que é que aconteceu?

Adicionar

9

x^{2} + 6 x

na linha

(2)

teve o resultado feliz de transformar a expressão num caso notável, que pode ser fatorizado como

(x + 3)^{2}

. Isto permitiu-nos resolver a equação aplicando a raiz quadrada.

É claro que isto não foi coincidência. O número

9

foi escolhido cuidadosamente para que a expressão resultante fosse um caso notável.

Como completar o quadrado

Para entender porque é que se escolheu o

9

devemos fazer-nos a seguinte questão: Se

x^{2} + 6 x

é o início de um caso notável, qual deve ser o termo constante?

Vamos supor que a expressão pode ser fatorizada como o caso notável

(x + a)^{2}

, onde o valor da constante

a

é ainda desconhecido. Esta expressão é desenvolvida como

x^{2} + 2 a x + a^{2}

, que nos diz duas coisas:

O coeficiente de $x$ ‍, que sabemos ser $6$ ‍, deve ser igual a $2 a$ ‍. Isso significa que $a = 3$ ‍.
O número constante que precisamos somar é igual a $a^{2}$ ‍, ou seja, $3^{2} = 9$ ‍.

Tenta completar alguns quadrados por ti próprio.

Problema 1

Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por $x^{2} + 10 x$ ‍ ?

Problema 2

Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por $x^{2} - 2 x$ ‍ ?

Problema 3

Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ ?

Desafio

Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por $x^{2} + b \cdot x$ ‍?

Este desafio dá-nos um atalho para completar o quadrado, para aqueles que gostam de atalhos e não gostam de memorizar. Mostra-nos que, para completar a expressão

x^{2} + b x

e torná-la num caso notável, onde

b

é qualquer número, precisamos adicionar

{(\frac{b}{2})}^{2}

à expressão.

Por exempl, a fim de completar o quadrado

x^{2} + 6 x

num caso notável, adicionámos

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

à expressão.

Mais resoluções de equações

Muito bem! Agora que estás um especialista em completar quadrados, vamos voltar ao processo de resolução de equações usando o nosso método.

Vamos ver um novo exemplo, a equação

x^{2} - 10 x = - 12

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & Adicionar 25, completar o quadrado. \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & Fatorizar a expressão à esquerda. \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & Aplicar a raiz quadrada. \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & Adicionar 5. \end{aligned}

Para tornar a expressão original da esquerda

x^{2} - 10 x

num caso notável, adicionámos

25

na linha

(2)

. Como sempre, com equações, fizemos a mesma operação no segundo membro, o que fez aumentar de

- 12

para

13

Em geral, a escolha do número para adicionar à expressão para completar o quadrado não depende do segundo membro, mas devemos sempre adicionar esse número aos dois membros.

Agora é a tua vez de resolver algumas equações.

Problema 4

Resolver $x^{2} - 8 x = 5$ ‍.

Problema 5

Resolver $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍.

Como organizar a equação antes de completar o quadrado

Regra 1: Separar os termos com variáveis do termo constante

Este é o aspeto da equação

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & Subtrair x . \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & Adicionar 6. \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & Adicionar 4, completar o quadrado. \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & Fatorizar. \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & Aplicar a raiz quadrada. \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & Subtrair 2. \end{aligned}

Não ajuda completar o quadrado num dos membros da equação se tivermos um termo em

x

no outro membro. É por isso que subtraímos

x

na linha

(2)

, colocando todos os termos com variáveis no primeiro membro.

Além do mais, para completar a expressão

x^{2} + 4 x

e transformá-la num caso notável, precisamos adicionar

4

à expressão. No entanto, antes de fazer isso, é preciso ter certeza de que todos os termos constantes estão no outro membro da equação. É por isso que adicionamos

6

na linha

(3)

, isolando

x^{2} + 4 x

Regra 2: Certifica-te que o coeficiente de $x^{2}$ ‍ é igual a $1$ ‍.

Este é o aspeto da equação

3 x^{2} - 36 x = - 42

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & Dividir por 3. \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & Adicionar 36, completar o quadrado. \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & Fatorizar. \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & Aplicar a raiz quadrada. \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & Adicionar 6. \end{aligned}

O método de completar o quadrado só funciona se o coeficiente de

x^{2}

for

1

[Por que razão é assim?]

É por isso que na linha

(2)

dividimos pelo coeficiente de

x^{2}

, que é

3

Por vezes, ao dividir pelo coeficiente de

x^{2}

, os outros coeficientes podem tornar-se frações. Isso não significa que se tenha feito algo de errado, mas apenas que para resolver a equação teremos de trabalhar com esses números.

[Mostrem-me um exemplo de uma equação com frações.]

Agora é a tua vez de resolver uma equação destas.

Problema 6

Resolver $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍.

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O que vais aprender nesta lição

Resolução de equações quadráticas, completando o quadrado

O que é que aconteceu?

Como completar o quadrado

Mais resoluções de equações

Como organizar a equação antes de completar o quadrado

Regra 1: Separar os termos com variáveis do termo constante

Regra 2: Certifica-te que o coeficiente de x2‍ é igual a 1‍ .

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