Volume de uma pirâmide ou cone

Uma pirâmide é um sólido geométrico constituído por uma base poligonal e por faces laterais que são triângulos. Estes triângulos têm um ponto em comum que é o vértice da pirâmide e que está num plano diferente da base.

Outra forma de pensar numa pirâmide é como uma coleção de todas as homotetias da base com o vértice como centro de homotetia, com razões de $0$0 a $1$1.

Um cone é uma figura comum semelhante a uma pirâmide na qual a base é um círculo ou outra forma curva fechada em vez de um polígono. Um cone tem uma superfície lateral curva em vez de várias faces triangulares, mas quando se trata de volume, um cone e uma pirâmide são semelhantes.

A fórmula do volume $V$V de uma pirâmide é $V=\dfrac{1}{3}(\text{área da base})(\text{altura})$V, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, a, space, b, a, s, e, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, a, l, t, u, r, a, end text, right parenthesis. De onde vem essa fórmula?

Supõe que começamos com um cubo com um lado de $1$1 unidade de comprimento. Podemos dividir esse cubo em $3$3 pirâmides congruentes.

Dada uma pirâmide de volume $V_{\text{original}}$V, start subscript, start text, o, r, i, g, i, n, a, l, end text, end subscript, podemos obter o volume, de uma nova pirâmide, que resulta de multiplicarmos as três dimensões da pirâmide original pelos fatores $r$r, $s$s e $t$t, fazendo $V_{\text{cópia}}$V, start subscript, start text, c, o, with, \', on top, p, i, a, end text, end subscript= $V_{\text{original}}rst$V, start subscript, start text, o, r, i, g, i, n, a, l, end text, end subscript, r, s, t.

Ideia chave: O volume da pirâmide ainda é $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction do volume do prisma que a inclui, mesmo depois de alterarmos as suas dimensões.

Imagina que cortamos a pirâmide em camadas paralelas à sua base. Podemos deslizar essas camadas sem alterar o volume. Quando o número de camadas se aproxima do infinito, a nossa pirâmide alterada fica mais suave.

O princípio de Cavalieri diz que se não alterarmos a altura ou as áreas das secções transversais da pirâmide que são paralelas à base, o volume também não será alterado! Podemos usar a mesma fórmula para o volume da pirâmide, não importa para onde movamos o vértice.

Há outra aplicação realmente fascinante do princípio de Cavalieri em pirâmides. Duas bases podem ter a mesma área e formas completamente diferentes. Se a altura e a área da base de duas pirâmides ou de sólidos forem iguais, então o volume deles também é, pois as áreas de todas as restantes secções transversais paralelas à base também têm de ser iguais.

Portanto, a nossa fórmula $V_{\text{pirâmide}}=\dfrac{1}{3}(\text{área da base})(\text{altura})$V, start subscript, start text, p, i, r, a, with, \^, on top, m, i, d, e, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, a, space, b, a, s, e, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, a, l, t, u, r, a, end text, right parenthesis funciona, não importa qual seja a forma 2D da base.

Outra forma que matemáticos como tu usaram para se convencerem que o volume de uma pirâmide é $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction do volume do prisma que a contém é a aproximação do volume usando prismas.

Podemos modelar uma pirâmide como uma pilha de prismas, como se a construção da pirâmide fosse feita de blocos. Este modelo tem um volume maior que o volume da pirâmide. Conforme as camadas ficam mais finas, mais nos aproximamos do volume da pirâmide.

Como as figuras semelhantes a um prisma podem ter qualquer figura 2D fechada como base e podemos deslizar os prismas sem alterar o volume deles, a razão é válida para todas as figuras semelhantes a uma pirâmide, incluindo os cones.