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8.º ano_OLD
Assunto: 8.º ano_OLD > Tema 2
Lição 5: Volume de sólidos geométricos- Volume de um prisma triangular e de um cubo
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- Calcular o volume de prismas retangulares
- Revisão sobre o volume de prismas retangulares
- Volume e área total de um cilindro
- Volume de cilindros
- Volume de um cone
- Volume de cones
- Volume de pirâmides
- Volume de uma pirâmide ou cone
- Calcular o volume por decomposição
- Decomposição de figuras para o cálculo do volume
- Decomposição de figuras para calcular o volume
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Volume de uma pirâmide ou cone
De onde vem os 1/3 na fórmula do volume de uma pirâmide? Como se relaciona com o volume de um cone?
O que são pirâmides e cones?
Uma pirâmide é um sólido geométrico constituído por uma base poligonal e por faces laterais que são triângulos. Estes triângulos têm um ponto em comum que é o vértice da pirâmide e que está num plano diferente da base.
Outra forma de pensar numa pirâmide é como uma coleção de todas as homotetias da base com o vértice como centro de homotetia, com razões de 0 a 1.
Um cone é uma figura comum semelhante a uma pirâmide na qual a base é um círculo ou outra forma curva fechada em vez de um polígono. Um cone tem uma superfície lateral curva em vez de várias faces triangulares, mas quando se trata de volume, um cone e uma pirâmide são semelhantes.
Volume de uma pirâmide
A fórmula do volume V de uma pirâmide é V, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, a, space, b, a, s, e, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, a, l, t, u, r, a, end text, right parenthesis. De onde vem essa fórmula?
De onde vem o start fraction, 1, divided by, 3, end fraction da fórmula?
Supõe que começamos com um cubo com um lado de 1 unidade de comprimento. Podemos dividir esse cubo em 3 pirâmides congruentes.
Pirâmides
Dada uma pirâmide de volume V, start subscript, start text, o, r, i, g, i, n, a, l, end text, end subscript, podemos obter o volume, de uma nova pirâmide, que resulta de multiplicarmos as três dimensões da pirâmide original pelos fatores r, s e t, fazendo V, start subscript, start text, c, o, with, \', on top, p, i, a, end text, end subscript= V, start subscript, start text, o, r, i, g, i, n, a, l, end text, end subscript, r, s, t.
Ideia chave: O volume da pirâmide ainda é start fraction, 1, divided by, 3, end fraction do volume do prisma que a inclui, mesmo depois de alterarmos as suas dimensões.
Deslizar as camadas
Imagina que cortamos a pirâmide em camadas paralelas à sua base. Podemos deslizar essas camadas sem alterar o volume. Quando o número de camadas se aproxima do infinito, a nossa pirâmide alterada fica mais suave.
O princípio de Cavalieri diz que se não alterarmos a altura ou as áreas das secções transversais da pirâmide que são paralelas à base, o volume também não será alterado! Podemos usar a mesma fórmula para o volume da pirâmide, não importa para onde movamos o vértice.
Alteração da forma da base
Há outra aplicação realmente fascinante do princípio de Cavalieri em pirâmides. Duas bases podem ter a mesma área e formas completamente diferentes. Se a altura e a área da base de duas pirâmides ou de sólidos forem iguais, então o volume deles também é, pois as áreas de todas as restantes secções transversais paralelas à base também têm de ser iguais.
Portanto, a nossa fórmula V, start subscript, start text, p, i, r, a, with, \^, on top, m, i, d, e, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, a, space, b, a, s, e, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, a, l, t, u, r, a, end text, right parenthesis funciona, não importa qual seja a forma 2D da base.
Como obter start fraction, 1, divided by, 3, end fraction de outra forma
Outra forma que matemáticos como tu usaram para se convencerem que o volume de uma pirâmide é start fraction, 1, divided by, 3, end fraction do volume do prisma que a contém é a aproximação do volume usando prismas.
Podemos modelar uma pirâmide como uma pilha de prismas, como se a construção da pirâmide fosse feita de blocos. Este modelo tem um volume maior que o volume da pirâmide. Conforme as camadas ficam mais finas, mais nos aproximamos do volume da pirâmide.
Número de camadas | start fraction, start text, V, o, l, u, m, e, space, d, a, space, a, p, r, o, x, i, m, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, a, space, p, i, r, a, with, \^, on top, m, i, d, e, space, d, e, space, b, l, o, c, o, s, end text, divided by, start text, V, o, l, u, m, e, space, d, o, space, p, r, i, s, m, a, end text, end fraction |
---|---|
4 | approximately equals, 0, comma, 469 |
16 | approximately equals, 0, comma, 365 |
64 | approximately equals, 0, comma, 341 |
256 | approximately equals, 0, comma, 335 |
1024 | approximately equals, 0, comma, 334 |
4096 | approximately equals, 0, comma, 333 |
infinity | start fraction, 1, divided by, 3, end fraction |
Como as figuras semelhantes a um prisma podem ter qualquer figura 2D fechada como base e podemos deslizar os prismas sem alterar o volume deles, a razão é válida para todas as figuras semelhantes a uma pirâmide, incluindo os cones.
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