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8.º ano

Assunto: 8.º ano > Tema 4

Lição 11: Sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas
Matemática
8.º ano
Álgebra
Sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas
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Resolver sistemas de equações pelo método de substituição

Google Classroom
Exemplos da resolução de sistemas de equação usando o método da substituição.
Vamos resolver este sistema de equações:
y, equals, 2, x, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, E, q, u, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, 1, end text, end color gray
x, plus, y, equals, 24, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, E, q, u, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, 2, end text, end color gray
O que torna o problema difícil é existirem duas variáveis, x e y. Se nos pudéssemos livrar de uma das variáveis...
Aqui está uma ideia! A equação 1 diz-nos que start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 e start color #e07d10, y, end color #e07d10 são iguais. Então, vamos substituir start color #e07d10, y, end color #e07d10 por start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 na equação 2 para nos livrarmos da variável y nessa equação:
x+y=24Equaça˜o 2x+2x=24Substituir y por 2x\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{Equação 2}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{Substituir y por 2x}}\end{aligned}
Brilhante! Agora temos uma equação apenas com a variável x, que sabemos resolver:
Ótimo! Então sabemos que x é igual a 8. Mas lembra-te que estamos à procura um par ordenado. Precisamos também de um valor de y. Vamos usar a primeira equação para descobrir o valor para y quando x é igual a 8:
y=2xEquaça˜o 1y=2(8)Substituir x por 8y=16\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{Equação 1}} \\\\ y &= 2(\blueD8) &\gray{\text{Substituir x por 8}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}
Ótimo! Portanto, a solução para o sistema de equações é left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis. É sempre uma boa ideia verificar a solução nas equações originais, só para ter certeza.
Vamos ver a primeira equação:
y=2x16=?2(8)Substituir x = 8 e y = 1616=16Sim!\begin{aligned} y &= 2x \\\\ \greenD{16} &\stackrel?= 2(\blueD{8}) &\gray{\text{Substituir x = 8 e y = 16}}\\\\ 16 &= 16 &\gray{\text{Sim!}}\end{aligned}
Vamos ver a segunda equação:
x+y=248+16=?24Substituir x = 8 e y = 1624=24Sim!\begin{aligned} x +y &= 24 \\\\ \blueD{8} + \greenD{16} &\stackrel?= 24 &\gray{\text{Substituir x = 8 e y = 16}}\\\\ 24 &= 24 &\gray{\text{Sim!}}\end{aligned}
Ótimo! left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis é, de facto, uma solução. Não devemos ter cometido nenhum erro.
É a tua vez de resolver um sistema de equações usando o método da eliminação.
Usa o método da eliminação para resolver o sistema de equações seguinte.
4, x, plus, y, equals, 28
y, equals, 3, x
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Resolver em ordem a uma variável primeiro, e, depois substituir

Às vezes usar a substituição é um pouco mais complicado. Aqui está outro sistema de equações:
minus, 3, x, plus, y, equals, minus, 9, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, E, q, u, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, 1, end text, end color gray
5, x, plus, 4, y, equals, 32, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, E, q, u, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, 2, end text, end color gray
Observa que nenhuma destas equações estão resolvidas em ordem a x ou y. Assim, o primeiro passo é resolver em ordem a x ou y . Vê como se resolve:
Passo 1: Resolve uma das equações em ordem a uma das variáveis.
Vamos resolver a primeira equação em ordem a y:
−3x+y=−9Equaça˜o 1−3x+y+3x=−9+3xAdicionar 3x a cada ladoy=−9+3x\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{Equação 1}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{Adicionar 3x a cada lado}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}
Passo 2: Substituir essa equação na outra equação e resolver em ordem a x.
5x+4y=32Equaça˜o 25x+4(−9+3x)=32Substituir -9 + 3x por y5x−36+12x=3217x−36=3217x=68x=4Dividir cada lado ateˊ 17\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{Equação 2}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{Substituir -9 + 3x por y}} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{Dividir cada lado até 17}}\end{aligned}
Passo 3: Substituir x, equals, 4 numa das equações originais, e resolver em ordem a y.
−3x+y=−9A primeira equaça˜o−3(4)+y=−9Substitua 4 por x−12+y=−9y=3Adicionar 12 de cada lado\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{A primeira equação}} \\\\ -3(\blueD{4}) +y &= -9 &\gray{\text{Substitua 4 por x}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{Adicionar 12 de cada lado}} \end{aligned}
Portanto, nossa solução é left parenthesis, start color #11accd, 4, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.

Vamos praticar!

1) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.
2, x, minus, 3, y, equals, minus, 5
y, equals, x, minus, 1
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.
minus, 7, x, minus, 2, y, equals, minus, 13
x, minus, 2, y, equals, 11
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.
minus, 3, x, minus, 4, y, equals, 2
minus, 5, equals, 5, x, plus, 5, y
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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