If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se estiveres protegido por um filtro da Web, certifica-te de que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

8.º ano_OLD

Assunto: 8.º ano_OLD > Tema 4

Lição 7: Fatorização de polinómios
Matemática
8.º ano_OLD
Álgebra
Fatorização de polinómios
© 2023 Khan AcademyTermos de utilizaçãoPolítica de privacidadePolítica de cookies

Fatorização de expressões de 2.º grau: diferença de quadrados

Google Classroom
Aprender a fatorizar expressões de 2.º grau que estão na forma de "diferença de quadrados". Por exemplo, escrever x²-16 as (x+4)(x-4).
Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, obtemos expressões que, multiplicadas, nos dão o pilonómio original.
Neste artigo, vamos aprender como usar a diferença de quadrados para fatorizar certos polinómios. Se não sabes o que é uma diferença de quadrados, por favor, vê este video antes de prosseguir.

Introdução: diferença de quadrados

Qualquer polinómio que seja uma diferença de quadrados pode ser fatorizado aplicando a seguinte fórmula:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Repara que a e b podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, para a, equals, x and b, equals, 2, temos a expressão seguinte:
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
O polinómio x, squared, minus, 4 é agora expresso na forma fatorizada, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Podemos desenvolver o lado direito desta equação para justificar a fatorização:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Agora que entendemos o padrão, vamos usá-lo para fatorizar mais alguns polinómios.

Exemplo 1: Factorizar x, squared, minus, 16

x, squared e 16 são ambos quadrados, uma vez que x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Por outras palavras:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Tendo em conta que estamos a subtrair um quadrado a outro, podemos ver que que este polinómio representa uma diferença de quadrados. Podemos usar o padrão da diferença de quadrados para fatorizar esta expressão:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Portanto, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Podemos verificar o que fizemos, garantindo que o produto destes dois fatores é x, squared, minus, 16.

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza x, squared, minus, 25.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza x, squared, minus, 100.

Pergunta para reflexão

3) Podemos usar o padrão da diferença de quadrados para fatorizar x, squared, plus, 25?
Seleciona a opção correta.

Exemplo 2: Factorizar 4, x, squared, minus, 9

O coeficiente principal não tem de ser igual a 1 para se poder usar o padrão da diferença de quadrados. Na verdade, este padrão da diferença de quadrados pode ser usada aqui!
Isto deve-se a 4, x, squared e 9 serem ambos quadrados uma vez que 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Podemos usar esta informação para fatorizar o polinómio usando o padrão da diferença de quadrados:
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Uma verificação rápida da multiplicação confirma a nossa resposta.

Testa o teu conhecimento

4) Fatoriza 25, x, squared, minus, 4.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 64, x, squared, minus, 81.

6) Fatoriza 36, x, squared, minus, 1.

Problemas desafio

7*) Fatoriza x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.

8*) Fatoriza 4, x, squared, minus, 49, y, squared.

Queres participar na conversa?

Iniciar sessão
Ainda não há comentários.
Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.