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8.º ano

Assunto: 8.º ano > Tema 3

Lição 11: Equações de retas

Equação reduzida da reta

Aprende sobre a expressão algébrica de uma reta (na forma de equação reduzida da reta) e como interpretá-la para calcular o declive e a sua ordenada na origem (interseção em y).

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Deves saber o que são equações lineares com duas variáveis. Mais especificamente, deves saber que o gráfico de uma equação destas é uma reta. Se isto for novo para ti, vai até Equações com duas variáveis - Introdução.
Também deves estar familiarizado com as seguintes propriedades de equações lineares: interseções com os eixos dos $x x$ ‍ e dos $y y$ ‍ e declive.

O que vais aprender nesta lição

Qual é a expressão algébrica de uma equação linear com duas variáveis.
Como encontrar o declive e a ordenada na origem de uma reta a partir da sua expressão algébrica.
Como encontrar a expressão algébrica de uma reta a partir do seu declive e da sua ordenada na origem.

O que é a equação reduzida da reta?

A equação reduzida da reta é uma forma específica de escrever equações lineares, em ordem à variável

y

. Tem o seguinte aspeto. Que rufem os tambores...

y = m x + b

Aqui,

m

b

podem ser dois números reais. Por exemplo, estas são equações lineares na forma reduzida, pois estão escritas em ordem a

y

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2, 7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
[Mas esta equação tem um x no último termo!]

Por outro lado, estas equações lineares não estão na forma reduzida, pois não estão expressas em ordem a

y

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

A forma reduzida é a maneira mais simples e intuitiva de representar uma equação linear. Vamos ver algumas das vantagens.

Os coeficientes da equação reduzida da reta

Para além de "arrumada" e simplificada, a forma reduzida tem a vantagem de indicar duas características da reta que a equação representa:

O declive é $m$ ‍.
A ordenada na origem (a interseção em $y$ ‍) é $b$ ‍. Por outras palavras, a reta interseta o eixo das ordenadas em $(0, b)$ ‍.

Por exemplo, a reta

y = 2 x + 1

tem um declive de

2

e a interseção com o eixo das ordenadas é

(0, 1)

Em inglês, esta forma de representar equações lineares designa-se slope-intercept, uma vez que nos permite identificar o declive (slope) e a interseção com o eixo das ordenadas (

y

-intercept)!

Testa o teu conhecimento

Problema 1

Qual é o declive da reta representada por $y = 5 x - 7$ ‍?

Problema 2

Qual é o declive da reta representada por $y = x + 9$ ‍?

Problema 3

Quais são as coordenadas do ponto de interseção da reta representada por $y = - 6 x - 11$ ‍ com o eixo dos $y y$ ‍?

Problema 4

Quais são as coordenadas do ponto de interseção da reta representada por $y = 4 x$ ‍ com o eixo dos $y y$ ‍?

Problema 5

Qual é o declive da reta representada por $y = 1 - 8 x$ ‍?

Problema 6

Qual das retas interseta o eixo dos $y y$ ‍ no ponto de coordenadas $(0, 4)$ ‍?

Questão para Reflexão

Como podemos identificar o declive de uma reta representada pela sua equação reduzida?

Desafio 1

Qual das opções pode ser a equação da reta?

Desafio 2

Escreve a equação de uma reta cujo declive é $10$ ‍ e a interseção com o eixo dos $y y$ ‍ tem coordenadas (0, -20).

Por que é que isto funciona?

Talvez te perguntes por que razão, na equação reduzida da reta,

m

nos indica o declive e

b

a ordenada na origem.

Será alguma espécie de magia? Um golpe de sorte? Bem, magia não é certamente. Em Matemática há sempre uma justificação. Nesta secção vamos falar um pouco desta propriedade tomando a equação

y = 2 x + 1

como exemplo.

Por que razão $b$ ‍ indica a ordenada na origem

Na interseção com o eixo das ordenadas o valor de

x

é sempre zero. Então, se quisermos descobrir a ordenada na origem de

y = 2 x + 1

, temos que substituir

x = 0

e resolver a equação em ordem a

y

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & Substitui x = 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

Verificamos que

2 x

torna-se zero e resta-nos

y = 1

[Quero ver uma prova usando a fórmula geral y = mx + b!]

Por que razão $m$ ‍ indica o declive

Vamos refrescar a nossa memória sobre o que é o declive exatamente: O declive é a razão da variação em

y

sobre a variação em

x

entre quaisquer dois pontos da reta.

Declive = \frac{Variação em y}{Variação em x}

Se considerarmos dois pontos onde a variação de

x

for exatamente

1

unidade, então, a variação de

y

será igual ao próprio declive.

Declive = \frac{Variação em y}{1} = Variação em y

Agora vamos ver o que acontece com os valores de

y

na equação

y = 2 x + 1

, à medida que os valores de

x

variam de forma constante

1

unidade.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

Podemos ver que, cada vez que

x

aumenta

1

unidade,

y

aumenta

2

unidades. Isto acontece porque

x

determina o múltiplo de

2

no cálculo de

y

Conforme descrito acima, a variação em

y

que corresponde ao aumento de

1

unidade em

x

, é igual ao declive da reta. Por este motivo, o declive é

2

[Quero ver uma prova usando a fórmula geral y = mx + b!]

Desafio 3

Completa a equação da reta.

y =

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