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12.ºano

Assunto: 12.ºano  > Tema 5

Lição 1: Introdução aos números complexos
Matemática
12.ºano
Números Complexos
Introdução aos números complexos
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Introdução aos números imaginários

Google Classroom
Aprende sobre a unidade imaginária i, sobre os números imaginários e sobre as raízes quadradas de números negativos.
Durante os teus estudos de matemática, deves ter notado que algumas equações quadráticas não têm soluções no conjunto dos números reais.
Por exemplo, tenta como puderes, mas nunca vais ser capaz de encontrar uma solução no conjunto dos números reais para a equação x, squared, equals, minus, 1. Isto acontece porque é impossível elevar um número real ao quadrado e obter um número negativo!
No entanto, a equação x, squared, equals, minus, 1 tem solução num novo sistema numérico chamado números complexos.

Unidade imaginária

O número i, ou a unidade imaginária, é a base dos números complexos.
O número i está definido de forma a que as seguintes igualdades sejam verdadeiras:
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
A segunda propriedade mostra-nos que o número i é de facto uma solução da equação x, squared, equals, minus, 1. Esta questão, anteriormente sem solução, pode agora ser resolvida ao adicionarmos a unidade imaginária!

Números imaginários puros

O número i não é o único! Tomando os múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar infinitamente mais números imaginários puros.
Por exemplo, 3, i, i, square root of, 5, end square root, e minus, 12, i são exemplos de números imaginários puros, ou de números da forma b, i, onde b é um número real não nulo.
Elevar estes números ao quadrado permite-nos perceber como é que eles se relacionam com os números reais. Vamos investigar isto elevando o número 3, i ao quadrado. As propriedades de expoentes inteiros permanecem as mesmas, por isso podemos elevar 3, i ao quadrado e usá-las.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Usando o facto de i, squared, equals, minus, 1, podemos simplificar:
(3i)2=9i2=9(−1)=−9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
O facto de left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 significa que 3, i é uma raiz quadrada de minus, 9.

Testa o teu conhecimento

Calcula left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Qual das seguintes é uma raiz quadrada de minus, 16?
Seleciona a opção correta.

Assim, podemos ver que os números imaginários puros são as raízes quadradas de números negativos!

Simplificar números imaginários puros

A tabela abaixo mostra exemplos de números imaginários puros nas formas simplificada e não simplificada.
Forma não simplificadaForma simplificada
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
Mas como é que simplificamos estes números imaginários puros?
Vamos olhar com mais atenção para o primeiro exemplo e ver se conseguimos compreender a simplificação.
Igualdade originalRaciocínio
−9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}A raiz quadrada de minus, 9 é um número imaginário. A raiz quadrada de 9 é 3, por isso a raiz quadrada de menos 9 é start text, 3, end text unidades imaginárias, ou 3, i.
A propriedade seguinte explica o "raciocínio" acima em termos matemáticos.
Para a, is greater than, 0, square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Se juntarmos isto àquilo que já sabemos acerca da simplificação de raízes, podemos simplificar todos os números imaginários puros. Vamos ver um exemplo.

Exemplo

Simplifica square root of, minus, 18, end square root.

Solução

Primeiro, vamos reparar que square root of, minus, 18, end square root é um número imaginário, pois é a raiz quadrada de um número imaginário. Portanto, podemos começar por reescrever square root of, minus, 18, end square root como i, square root of, 18, end square root.
De seguida, podemos simplificar square root of, 18, end square root usando o que já sabemos acerca da simplificação de raízes.
Os cálculos estão mostrados abaixo.
−18=i18Para todo o a>0, −a=ia=i×9×218 eˊ o dobro de 9=i9×2ab=a×b quando a,b≥0=i×3×29=3=3i2A multiplicaça˜o eˊ comutativa\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{Para todo o $a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\times\sqrt{9\times 2}&&\small{\gray{ \text{$18$ é o dobro de $9$}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\times\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b} \text{ quando } a, b\geq0}} \\\\ &=i\times3\times\sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{A multiplicação é comutativa}}} \end{aligned}
Por isso, concluímos que square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

Vamos resolver alguns exercícios

Problema 1

Simplifica square root of, minus, 25, end square root.

Problema 2

Simplifica square root of, minus, 10, end square root.

Problema 3

Simplifica square root of, minus, 24, end square root.

Mas porque é que os números imaginários existem?

A resposta é simples. A unidade imaginária i permite-nos encontrar soluções para várias equações que não têm soluções no conjunto dos números reais.
Isto pode parecer estranho, mas é bastante comum que equações não tenham solução num sistema numérico e tenham solução noutro sistema numérico mais geral.
Aqui estão alguns exemplos com os quais podes estar mais familiarizado.
  • Se considerarmos apenas o conjunto dos números naturais, a equação x, plus, 8, equals, 1 não tem solução; precisamos dos números inteiros!
  • Apenas com o conjunto dos números inteiros, a equação 3, x, minus, 1, equals, 0 não tem solução; precisamos dos números racionais para isto!
  • Apenas com os números racionais, não podemos resolver x, squared, equals, 2. Assim, entram os números irracionais e o sistema numérico real!
E portanto, apenas com números reais, não podemos resolver x, squared, equals, minus, 1. Precisamos dos números imaginários para isto!
No teu percurso de estudos, vais começar a perceber a importância destes números.

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