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12.ºano

Assunto: 12.ºano  > Tema 5

Lição 1: Introdução aos números complexos
Matemática
12.ºano
Números Complexos
Introdução aos números complexos
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Introdução aos números imaginários

Google Classroom
Aprende sobre a unidade imaginária i, sobre os números imaginários e sobre as raízes quadradas de números negativos.
Durante os teus estudos de matemática, deves ter notado que algumas equações quadráticas não têm soluções no conjunto dos números reais.
Por exemplo, tenta como puderes, mas nunca vais ser capaz de encontrar uma solução no conjunto dos números reais para a equação x2=−1. Isto acontece porque é impossível elevar um número real ao quadrado e obter um número negativo!
No entanto, a equação x2=−1 tem solução num novo sistema numérico chamado números complexos.

Unidade imaginária

O número i, ou a unidade imaginária, é a base dos números complexos.
O número i está definido de forma a que as seguintes igualdades sejam verdadeiras:
  • i=−1
  • i2=−1
A segunda propriedade mostra-nos que o número i é de facto uma solução da equação x2=−1. Esta questão, anteriormente sem solução, pode agora ser resolvida ao adicionarmos a unidade imaginária!

Números imaginários puros

O número i não é o único! Tomando os múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar infinitamente mais números imaginários puros.
Por exemplo, 3i, i5, e −12i são exemplos de números imaginários puros, ou de números da forma bi, onde b é um número real não nulo.
Elevar estes números ao quadrado permite-nos perceber como é que eles se relacionam com os números reais. Vamos investigar isto elevando o número 3i ao quadrado. As propriedades de expoentes inteiros permanecem as mesmas, por isso podemos elevar 3i ao quadrado e usá-las.
(3i)2=32i2=9i2
Usando o facto de i2=−1, podemos simplificar:
(3i)2=9i2=9(−1)=−9
O facto de (3i)2=−9 significa que 3i é uma raiz quadrada de −9.

Testa o teu conhecimento

Calcula (4i)2.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Qual das seguintes é uma raiz quadrada de −16?
Seleciona a opção correta.

Assim, podemos ver que os números imaginários puros são as raízes quadradas de números negativos!

Simplificar números imaginários puros

A tabela abaixo mostra exemplos de números imaginários puros nas formas simplificada e não simplificada.
Forma não simplificadaForma simplificada
−93i
−5i5
−−144−12i
Mas como é que simplificamos estes números imaginários puros?
Vamos olhar com mais atenção para o primeiro exemplo e ver se conseguimos compreender a simplificação.
Igualdade originalRaciocínio
−9=3iA raiz quadrada de −9 é um número imaginário. A raiz quadrada de 9 é 3, por isso a raiz quadrada de menos 9 é 3 unidades imaginárias, ou 3i.
A propriedade seguinte explica o "raciocínio" acima em termos matemáticos.
Para a>0, −a=ia
Se juntarmos isto àquilo que já sabemos acerca da simplificação de raízes, podemos simplificar todos os números imaginários puros. Vamos ver um exemplo.

Exemplo

Simplifica −18.

Solução

Primeiro, vamos reparar que −18 é um número imaginário, pois é a raiz quadrada de um número imaginário. Portanto, podemos começar por reescrever −18 como i18.
De seguida, podemos simplificar 18 usando o que já sabemos acerca da simplificação de raízes.
Os cálculos estão mostrados abaixo.
−18=i18Para todo o a>0, −a=ia=i×9×218 é o dobro de 9=i9×2ab=a×b quando a,b≥0=i×3×29=3=3i2A multiplicação é comutativa
Por isso, concluímos que −18=3i2.

Vamos resolver alguns exercícios

Problema 1

Simplifica −25.

Problema 2

Simplifica −10.

Problema 3

Simplifica −24.

Mas porque é que os números imaginários existem?

A resposta é simples. A unidade imaginária i permite-nos encontrar soluções para várias equações que não têm soluções no conjunto dos números reais.
Isto pode parecer estranho, mas é bastante comum que equações não tenham solução num sistema numérico e tenham solução noutro sistema numérico mais geral.
Aqui estão alguns exemplos com os quais podes estar mais familiarizado.
  • Se considerarmos apenas o conjunto dos números naturais, a equação x+8=1 não tem solução; precisamos dos números inteiros!
  • Apenas com o conjunto dos números inteiros, a equação 3x−1=0 não tem solução; precisamos dos números racionais para isto!
  • Apenas com os números racionais, não podemos resolver x2=2. Assim, entram os números irracionais e o sistema numérico real!
E portanto, apenas com números reais, não podemos resolver x2=−1. Precisamos dos números imaginários para isto!
No teu percurso de estudos, vais começar a perceber a importância destes números.

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