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12.ºano
Assunto: 12.ºano > Tema 5
Lição 1: Introdução aos números complexos- Introdução aos números imaginários
- Introdução aos números imaginários
- As potências da unidade imaginária
- As potências da unidade imaginária
- As potências da unidade imaginária
- Simplificar as raízes de números negativos
- Simplificar as raízes de números negativos
- i como a raiz de -1
- Introdução aos números complexos
- Introdução aos números complexos
- Partes de números complexos
- Classificação de números complexos
- Classificar números complexos
- Números no plano complexo 1
- O plano complexo
- Números no plano complexo
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Introdução aos números imaginários
Aprende sobre a unidade imaginária i, sobre os números imaginários e sobre as raízes quadradas de números negativos.
Durante os teus estudos de matemática, deves ter notado que algumas equações quadráticas não têm soluções no conjunto dos números reais.
Por exemplo, tenta como puderes, mas nunca vais ser capaz de encontrar uma solução no conjunto dos números reais para a equação . Isto acontece porque é impossível elevar um número real ao quadrado e obter um número negativo!
No entanto, a equação tem solução num novo sistema numérico chamado números complexos.
Unidade imaginária
O número , ou a unidade imaginária, é a base dos números complexos.
O número está definido de forma a que as seguintes igualdades sejam verdadeiras:
A segunda propriedade mostra-nos que o número é de facto uma solução da equação . Esta questão, anteriormente sem solução, pode agora ser resolvida ao adicionarmos a unidade imaginária!
Números imaginários puros
O número não é o único! Tomando os múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar infinitamente mais números imaginários puros.
Por exemplo, , , e são exemplos de números imaginários puros, ou de números da forma , onde é um número real não nulo.
Elevar estes números ao quadrado permite-nos perceber como é que eles se relacionam com os números reais. Vamos investigar isto elevando o número ao quadrado. As propriedades de expoentes inteiros permanecem as mesmas, por isso podemos elevar ao quadrado e usá-las.
Usando o facto de , podemos simplificar:
O facto de significa que é uma raiz quadrada de .
Testa o teu conhecimento
Assim, podemos ver que os números imaginários puros são as raízes quadradas de números negativos!
Simplificar números imaginários puros
A tabela abaixo mostra exemplos de números imaginários puros nas formas simplificada e não simplificada.
Forma não simplificada | Forma simplificada |
---|---|
Mas como é que simplificamos estes números imaginários puros?
Vamos olhar com mais atenção para o primeiro exemplo e ver se conseguimos compreender a simplificação.
Igualdade original | Raciocínio |
---|---|
A raiz quadrada de |
A propriedade seguinte explica o "raciocínio" acima em termos matemáticos.
Para,
Se juntarmos isto àquilo que já sabemos acerca da simplificação de raízes, podemos simplificar todos os números imaginários puros. Vamos ver um exemplo.
Exemplo
Simplifica .
Solução
Primeiro, vamos reparar que é um número imaginário, pois é a raiz quadrada de um número imaginário. Portanto, podemos começar por reescrever como .
De seguida, podemos simplificar usando o que já sabemos acerca da simplificação de raízes.
Os cálculos estão mostrados abaixo.
Por isso, concluímos que .
Vamos resolver alguns exercícios
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Mas porque é que os números imaginários existem?
A resposta é simples. A unidade imaginária permite-nos encontrar soluções para várias equações que não têm soluções no conjunto dos números reais.
Isto pode parecer estranho, mas é bastante comum que equações não tenham solução num sistema numérico e tenham solução noutro sistema numérico mais geral.
Aqui estão alguns exemplos com os quais podes estar mais familiarizado.
- Se considerarmos apenas o conjunto dos números naturais, a equação
não tem solução; precisamos dos números inteiros! - Apenas com o conjunto dos números inteiros, a equação
não tem solução; precisamos dos números racionais para isto! - Apenas com os números racionais, não podemos resolver
. Assim, entram os números irracionais e o sistema numérico real!
E portanto, apenas com números reais, não podemos resolver . Precisamos dos números imaginários para isto!
No teu percurso de estudos, vais começar a perceber a importância destes números.
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