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Conteúdo principal

Introdução aos números complexos

Aprende o que são os números complexos e as suas partes imaginárias e reais.
No sistema numérico dos números reais, a equação x2=1 não tem solução. Nesta aula, vamos estudar um novo sistema numérico no qual a equação tem solução.
O elemento principal deste novo sistema numérico é o número i, também chamado de unidade imaginária.
  • i2=1
  • 1=i
Ao ter-se múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar todo um conjunto de novos números, como 3i, i5, e 12i. Estes são exemplos de números imaginários.
Para além disso, é ainda possível termos números que são uma junção de números reais e imaginários, como por exemplo 2+7i e 32i. Estes novos números chamam-se números complexos.

Definir números complexos

Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como a+bi, onde i é a unidade imaginária e a e b são números reais.
a+biiParteParterealimaginária
Se z=a+bi, a é a parte real de z e b é a parte imaginária de z.
A tabela abaixo mostra exemplos de números complexos, com as partes real e imaginária identificadas. Identificar a parte real e imaginária torna-se mais fácil se o número estiver na forma algébrica padrão, a+bi, com a e b sendo números reais.
Número complexoForma padrão a+biDescrição das partes
7i22+7iA parte real é 2 e a parte imaginária é 7
43i4+(3)iA parte real é 4 e a parte imaginária é 3
9i0+9iA parte real é 0 e a parte imaginária é 9
22+0iA parte real é 2 e a parte imaginária é 0

Testa o teu conhecimento

Problema 1
Qual é a parte real de 13,2i+1?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Qual é a parte imaginária de 2114i?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3
Qual é a parte real de 17i?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Classificar números complexos

Já sabemos o que é um número real, e acabámos de definir o que é um número complexo. Vamos agora dar uma definição mais completa do que é um número imaginário.
Um número imaginário é um número complexo a+bi no qual a=0.
Da mesma forma, podemos dizer que um número real é um número complexo a+bi no qual b=0.
Das observações anteriores, podemos concluir que qualquer número imaginário ou real é também um número complexo.
Contudo, há números complexos que não são nem imaginários nem reais, como por exemplo 4+2i.
Números complexos4+2i35iNúmeros reais512,23Números imaginários5i12,2i3i

Pergunta para reflexão

A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
Qualquer número complexo é real ou imaginário.
Seleciona a opção correta.

Exemplos

Na tabela abaixo, classificámos vários números como reais, imaginários puros, e/ou complexos.
Real(b=0)Imaginário(a=0)Complexo(a+bi)
7+8i(7+8i)X
3(3+0i)XX
1(1+0i)XX
1,3i(0+(1,3)i)XX
100i(0+100i)XX
Tem atenção que na tabela, todos os números listados são complexos! Isto é verdade em geral!

Agora tenta tu!

Problema 4
Que tipo de número é que é 2+3i?
Seleciona todas as respostas corretas:

Problema 5
Que tipo de número é que é 10,2?
Seleciona todas as respostas corretas:

Problema 6
Que tipo de número é que é 17i?
Seleciona todas as respostas corretas:

Porque é que estes números são importantes?

Porque é que estudamos números complexos? Números complexos têm imensas aplicações, por exemplo, em áreas tão distintas como engenharia eletrotécnica e mecânica quântica.
De um ponto de vista puramente matemático, uma das coisas mais fixes que os números complexos nos permitem fazer é resolver qualquer equação polinomial.
Por exemplo, a equação polinomial x22x+5=0 não tem qualquer solução real ou imaginária. Contudo, esta tem duas soluções que são números complexos, nomeadamente 1+2i e 12i.
À medida que vamos continuando o nosso estudo da matemática, vamos aprender mais sobre estes números e onde é que são usados.

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