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12.ºano

Lição 1: Fórmulas trigonométricas

Fórmula fundamental da trigonometria

Procurar e compreender todas as tuas identidades trigonométricas favoritas

\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)}

\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}

\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)}

\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

\cot (θ) = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1^{2}

\tan^{2} (θ) + 1^{2} = \sec^{2} (θ)

\cot^{2} (θ) + 1^{2} = \csc^{2} (θ)

Elas estão todas relacionadas, mas vamos analisar cada tipo.

Fórmulas para somas e diferenças de ângulos

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

\sin (θ - ϕ) = \sin θ \cos ϕ - \cos θ \sin ϕ

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ - ϕ) = \cos θ \cos ϕ + \sin θ \sin ϕ

[Explica.]

\tan (θ + ϕ) = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

\tan (θ - ϕ) = \frac{\tan θ - \tan ϕ}{1 + \tan θ \tan ϕ}

Fórmulas para o dobro de um ângulo

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

[Explica.]

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}

Fórmulas para metade de um ângulo

\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}

\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}}

\begin{aligned} \tan \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} \\ = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} \end{aligned}

[Explica.]

\sin (- θ) = - \sin (θ)

\cos (- θ) = + \cos (θ)

\tan (- θ) = - \tan (θ)

\sin (θ + 2 π) = \sin (θ)

\cos (θ + 2 π) = \cos (θ)

\tan (θ + π) = \tan (θ)

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

\cos θ = \sin (\frac{π}{2} - θ)

\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)

\cot θ = \tan (\frac{π}{2} - θ)

\sec θ = \csc (\frac{π}{2} - θ)

\csc θ = \sec (\frac{π}{2} - θ)

Move o ponto para saber como como se alteram as razões trigonométricas em função do ângulo.

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