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Introdução aos Logaritmos

Aprende o que são e como se calculam logarítmos.

Conceitos com que deves estar familiarizado para esta lição

Deves estar familiarizado com expoentes, incluindo expoentes negativos.

O que vais aprender nesta lição

Vais aprender o que são logaritmos, e vais aprender a calcular alguns logaritmos básicos. Isto vai preparar-te para trabalhares com expressões e funções logarítmicas no futuro.

O que é um logaritmo?

Os logaritmos representam uma forma alternativa de pensar em expoentes.

Por exemplo, sabemos que

2

elevado a

4^{}

é igual a

16

. Isto é expresso pela expressão exponencial

2^{4} = 16

Agora supõe que alguém nos perguntava , "a que potência elevar

2

para obter

16

?" A resposta seria

4

. Isto é expresso pela expressão logarítmica

\log_{2} (16) = 4

, que se lê "logaritmo de base 2 de dezasseis igual quatro".

2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4

Ambas as igualdades descrevem a mesma relação entre os números

2

4

, e

16

, em que

2

é a base e

4

é o expoente.

A diferença é que enquanto que na forma exponencial obtemos a potência,

16

, a partir da base e do expoente, na forma logarítmica obtemos o expoente,

4

, a partir da base e da potência.

Aqui estão mais exemplos de equivalências entre expressões logarítmicas e exponenciais.

Forma logarítmica		Forma exponencial
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

Definição de logaritmo

Generalizando os exemplos acima leva-nos à definição formal de logaritmo.

\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a

Ambas as igualdades descrevem a mesma relação entre

a

b

, e

c

$b$ ‍ é a $base$ ‍,
$c$ ‍ é o $expoente$ ‍
$a$ ‍ é o $argumento$ ‍.

Uma nota útil

Ao reescrever uma equação exponencial na forma logarítmica ou uma equação logarítmica na forma exponencial, é útil lembrar que a base do logaritmo é a mesma que a base do exponente.

Testa o teu conhecimento

Nos problemas seguintes, vais fazer as conversões entre as formas exponencial e logarítmica das igualdades.

Problema 1

Qual das alternativas seguintes é equivalente a $2^{5} = 32$ ‍?

Problema 2

Qual das alternativas seguintes é equivalente a $5^{3} = 125$ ‍?

Problema 3

Escreve $\log_{2} (64) = 6$ ‍ na forma exponencial.

Problema 4

4) Escreve $\log_{4} (16) = 2$ ‍ na forma exponencial.

Calcular um logaritmo

Boa! Agora que compreendemos a relação entre expoentes e logaritmos, vamos ver se somos capazes calcular logaritmos.

Por exemplo, vamos calcular

\log_{4} (64)

Vamos começar por igualar a expressão do logaritmo a

x

\log_{4} (64) = x

Escrever isto na forma de uma equação exponencial dá-nos a equação seguinte:

4^{x} = 64

A que potência é que temos de elevar

4

para obter

64

? Bom,

4^{3} = 64

e por isso

\log_{4} (64) = 3

À medida que fores praticando, vais começar a conseguir calcular expressões como

\log_{4} (64)

simplesmente perguntando "qual é a potência a que temos de elevar $4$ ‍ para obter $64$ ‍?"

Testa o teu conhecimento

Lembra-te de que, para calculares

\log_{b} (a)

, podes perguntar: "qual é a potência a que podemos elevar

b

para obter

a

Problema 5

\log_{6} (36) =

Problema 6

\log_{3} (27) =

Problema 7

\log_{4} (4) =

Problema 8

\log_{5} (1) =

Desafio

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

Restrições nas variáveis

\log_{b} (a)

é definido quando a base

b

é positiva e diferente de

1

e o argumento

a

é positivo. Estas restrições resultam da conexão entre logaritmos e expoentes.

Restrição	Raciocínio
$b > 0$ ‍	Numa função exponencial, a base $b$ ‍ é sempre definida como sendo positiva.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍ significa que $b^{c} = a$ ‍. Como um número positivo elevado a uma potência qualquer é positivo, o que significa que $b^{c} > 0$ ‍, segue que $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	Supõe, por um momento, que $b$ ‍ poderia ser $1$ ‍. Agora considera a equação $\log_{1} (3) = x$ ‍. A forma exponencial equivalente seria $1^{x} = 3$ ‍. Mas isto nunca pode ser verdade pois $1$ ‍ elevado a qualquer potência é sempre $1$ ‍. Por isso, segue que $b \neq 1$ ‍.

Logaritmos especiais

Embora a base de um logaritmo possa ter muitos valores diferentes, há duas bases que são utilizadas com mais frequência do que outras.

Aliás, a maior parte das calculadoras tem botões apenas para estes dois tipos de logaritmos. Vamos ver quais são.

Logaritmo decimal

O logaritmo decimal é um logaritmo cuja base é

10

("logaritmo de base

10

").

Por vezes, quando a base do logaritmo é

10

, o número é omitido na expressão.

\log_{10} (x) = \log (x)

Logaritmo neperiano

O logaritmo neperiano é um logaritmo cuja base é o número de Neper

e

("logaritmo de base

e

").

[O que é o e?]

Em vez de escrevermos a base como

e

, podemos indicar este logaritmo com

\ln

\log_{e} (x) = \ln (x)

Esta tabela tem um resumo daquilo que precisamos de saber acerca destes dois logaritmos especiais:

Nome	Base	Notação geral	Notação especial
Logaritmo decimal	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
Logaritmo neperiano	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

Embora a notação seja diferente, a ideia por detrás do cálculo do logaritmo é exatamente a mesma!

[Gostava de ver mais exemplos do cálculo de logaritmos decimais e neperianos. ]

Porque é que estamos a estudar logaritmos?

Como acabaste de aprender, os logaritmos revertem expoentes. Por esta razão, são muito úteis para resolver equações exponenciais.

Por exemplo, a solução para

2^{x} = 5

pode ser dado em termos do logaritmo,

x = \log_{2} (5)

. Vais aprender como calcular esta expressão logarítmica no decorrer das próximas aulas.

As expressões e funções logarítmicas também se revelam muito interessantes por si só, e são muito comuns no mundo que nos rodeia. Por exemplo, muitos fenómenos físicos são medidos com escalas logarítmicas.

O que se segue?

Aprender sobre as propriedades dos logaritmos que nos ajudam a reescrever expressões logarítmicas e sobre a regra de mudança de base, que nos permite calcular qualquer logaritmo usando a calculadora.

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12.ºano

Assunto: 12.ºano > Tema 2

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