Resolução de equações exponenciais usando logaritmos (artigo)

A chave para resolver equações exponenciais está nos logaritmos! Vamos ver com mais atenção através de alguns exemplos.

Resolver equações exponenciais da forma $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Vamos resolver

5 \cdot 2^{x} = 240

Para resolver em ordem a

x

, primeiro temos de isolar a parte exponencial. Para fazer isto, divide ambos os membros por

5

tal como se pode ver abaixo. Não multiplicamos o

5

e o

2

dado ir contra a ordem das operações!

\begin{aligned} 5 \cdot 2^{x} & = 240 \\ 2^{x} & = 48 \end{aligned}

Agora podemos resolver em ordem a

x

convertendo a equação para a forma logarítmica.

2^{x} = 48

é equivalente a

\log_{2} (48) = x

E assim resolvemos a equação! A solução exata é

x = \log_{2} (48)

Como

48

não é nenhuma potência racional de

2

, devemos usar a regra de mudança de base e as nossas calculadoras para calcular o logaritmo. Isto é mostrado abaixo.

\begin{aligned} x & = \log_{2} (48) \\ = \frac{\log (48)}{\log (2)} & Regra de mudança de base \\ \approx 5,585 & Obtém o valor usando uma calculadora \end{aligned}

A solução aproximada, arredondada às milésimas é

x \approx 5,585

Testa o teu conhecimento

1) Qual é a solução de $2 \cdot 6^{x} = 236$ ‍?

2) Resolve $5 \cdot 3^{t} = 20$ ‍.
Arredonda a tua resposta às milésimas.

t =

3) Resolve $6 \cdot e^{y} = 300$ ‍.
Arredonda a tua resposta às milésimas.

y =

Resolver equações exponenciais da forma $a \cdot b^{c x} = d$ ‍

Vamos ver outro exemplo. Vamos resolver

6 \cdot 10^{2 x} = 48

Começamos novamente por isolar a parte exponencial dividindo ambos os membros por

6

\begin{aligned} 6 \cdot 10^{2 x} & = 48 \\ 10^{2 x} & = 8 \end{aligned}

De seguida, podemos trazer o expoente para baixo convertendo a expressão para a forma logarítmica.

\begin{aligned} \log_{10} (8) & = 2 x \end{aligned}

Finalmente, podemos dividir ambos os membros por

2

e resolver em ordem a

x

x = \frac{\log_{10} (8)}{2}

Esta é a resposta exata. Para aproximar a resposta à milésima mais próxima, podemos escrever isto diretamente na calculadora. Tem em atenção que aqui não existe necessidade de mudar a base pois já está na base

10

\begin{aligned} x & = \frac{\log_{10} (8)}{2} \\ = \frac{\log (8)}{2} & \log_{10} (x) = \log (x) \\ \approx 0,452 & Obtém o valor usando uma calculadora \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

4) Qual das opções seguintes é a solução de $3 \cdot 10^{4 t} = 522$ ‍?

5) Resolve $4 \cdot 5^{2 x} = 300$ ‍.
Arredonda a tua resposta às milésimas.

x =

6) Resolve $- 2 \cdot 3^{0, 2 z} = - 400$ ‍.
Arredonda a tua resposta às milésimas.

z =

Problema desafio

7) Qual das seguintes opções são soluções para $(2^{x} - 3) (2^{x} - 4) = 0$ ‍?

Assunto: 12.ºano > Tema 2

Resolução de equações exponenciais usando logaritmos

Resolver equações exponenciais da forma $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Testa o teu conhecimento

Resolver equações exponenciais da forma $a \cdot b^{c x} = d$ ‍

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12.ºano

Assunto: 12.ºano > Tema 2

Resolver equações exponenciais da forma a⋅bx=d‍

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Resolver equações exponenciais da forma a⋅bcx=d‍

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Resolver equações exponenciais da forma $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Resolver equações exponenciais da forma $a \cdot b^{c x} = d$ ‍