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12.ºano

Assunto: 12.ºano > Tema 6

Lição 2: Funções Exponenciais e Logarítmicas

Justificação das propriedades do logaritmo

Estuda as demonstrações das propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência.

Nesta aula, vamos demonstrar três propriedades dos logaritmos: a regra do produto, a regra do quociente, e a regra da potência. Antes de começarmos, vamos recordar um facto que nos vai ser muito útil.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

Dito de outra forma, um logaritmo na base

b

reverte o efeito de uma potência de base

b

[Porque é que isto é verdade, mesmo?]

Tem isto em mente à medida que lês as demonstrações que se seguem.

Regra do produto: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Vamos começar por demonstrar um caso específico da regra — o caso em que

M = 4

N = 8

, e

b = 2

Substituindo estes valores em

\log_{b} (M N)

, vemos:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 e 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Pois 2 = \log_{2} (4) e 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

E portanto temos que

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Embora isto apenas verifique um caso, podemos seguir a mesma lógica para demonstrar a regra do produto de uma forma geral.

Nota que escrever

4

8

como potências de

2

foi a chave para a demonstração. Por isso, em geral, vamos querer que

M

N

sejam potências da base

b

. Para fazer isto, vamos considerar que

M = b^{x}

N = b^{y}

para

x

y

números reais.

[Porque é que podemos fazer isto?]

Assim, por definição, também é verdade que

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Temos agora que:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Substituição \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Propriedades dos expoentes \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Substituição \end{aligned}$ ‍

Regra do quociente: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

A demonstração desta propriedade segue um método matemático semelhante ao método usado acima.

Novamente, se tomarmos

M = b^{x}

N = b^{y}

, segue que

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Podemos agora demonstrar a regra do quociente da seguinte maneira:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Substituição \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Propriedades dos expoentes \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Substituição \end{aligned}$ ‍

Regra da potência: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Desta vez, apenas o

M

é que está envolvido na propriedade e por isso é suficiente para deixar que

M = b^{x}

, o que nos dá

\log_{b} (M) = x

A demonstração da regra da potência está demonstrada abaixo.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Substituição \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Propriedades dos expoentes \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Substituição \\ = p \cdot \log_{b} (M) & A multiplicação é comutativa \end{aligned}$ ‍

Alternativamente, podemos justificar esta propriedade usando a regra do produto.

Por exemplo, sabemos que

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, onde

M

é multiplicado por si próprio

p

vezes.

Podemos agora usar a regra do produto juntamente com a definição de que a multiplicação possa ser vista como adições repetidas para completar a demonstração. Isto é demonstrado abaixo.

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Definição dos expoentes \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & Regra do produto \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Definição de produto \end{aligned}

E finalmente acabámos de demonstrar as três propriedades dos logaritmos!

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Regra do produto: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Regra do quociente: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Regra da potência: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

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Regra do produto: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Regra do quociente: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Regra da potência: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍