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12.ºano

Assunto: 12.ºano  > Tema 1

Lição 7: Resolução de problemas
Matemática
12.ºano
Cálculo Combinatório e Probabilidades
Resolução de problemas
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Probabilidade binomial (básico)

Google Classroom

Problema 1: lançamentos livres

A Sílvia encesta 90, percent dos lançamentos livres. Ela vai fazer 3 lançamentos livres. Assume que os resultados dos lançamentos são independentes uns dos outros.
Ela quer determinar a probabilidade de encestar exatamente 2 dos 3 lançamentos livres.
De forma a resolvermos no problema, vamos pensar por partes.
problema A
Se ela encestar 2 dos lançamentos livres, quantos lançamentos é que ela tem de falhar?
Seleciona a opção correta.

Problema B
Determina a probabilidade de ela encestar os primeiros 2 lançamentos livres e falhar o terceiro lançamento livre.
Aproxima a tua resposta à centésima mais próxima se necessário.
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, r, comma, space, e, n, c, e, s, t, a, r, comma, space, f, a, l, h, a, r, end text, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema c
"Encestar, encestar, falhar" não é a única maneira da Sílvia concretizar 2 lançamentos livres de um total de 3 tentativas.
Calcula a probabilidade de ela encestar o primeiro lançamento, falhar o segundo, e encestar o terceiro.
Aproxima a tua resposta à centésima mais próxima se necessário.
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, r, comma, space, f, a, l, h, a, r, comma, space, e, n, c, e, s, t, a, r, end text, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema d
A Sílvia podia também concretizar 2 lançamentos livres se os resultados fossem: "falhar, encestar, encestar".
Calcula a probabilidade de ela falhar o primeiro lançamento, e encestar os dois lançamentos seguintes.
Aproxima a tua resposta à centésima mais próxima se necessário.
P, left parenthesis, start text, f, a, l, h, a, r, comma, space, e, n, c, e, s, t, a, r, comma, space, e, n, c, e, s, t, a, r, end text, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema E
Usa a fórmula da combinação para verificar que essas 3 maneiras representam todas as maneiras diferentes que podemos ter em conta 2 concretizações num total de 3 tentativas.
start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, equals, start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, k, right parenthesis, !, dot, k, !, end fraction
start subscript, 3, end subscript, start text, C, end text, start subscript, 2, end subscript, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
maneiras

problema f
Agora adiciona os três valores previamente obtidos para determinares a probabilidade de ela concretizar exatamente 2 dos 3 lançamentos livres.
Aproxima a tua resposta à centésima mais próxima caso aches necessário.
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, r, space, 2, space, d, e, space, 3, space, l, a, n, ç, a, m, e, n, t, o, s, space, l, i, v, r, e, s, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, S, space, end text, start text, S, space, end text, start text, F, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, S, space, end text, start text, F, space, end text, start text, S, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, F, space, end text, start text, S, space, end text, start text, S, end text, right parenthesis
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, r, space, 2, space, d, e, space, 3, space, l, a, n, ç, a, m, e, n, t, o, s, space, l, i, v, r, e, s, end text, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Generalizar a partir do Problema 1: Construir uma fórmula para uso futuro

Vimos no Problema 1 que diferentes ordens do mesmo resultado correspondem cada uma delas à mesma probabilidade.
Podemos construir uma fórmula para este tipo de problema, a que se chama de configuração binomial. Um problema de probabilidade binomial tem as seguintes características:
  • um conjunto fixo de ensaios left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis
  • cada ensaio pode ser classificado como um "sucesso" ou um "insucesso"
  • a probabilidade de sucesso left parenthesis, start color #1fab54, p, end color #1fab54, right parenthesis é a mesma para cada ensaio
  • os resultados de cada ensaio são independentes uns dos outros
Aqui está um resumo da nossa estratégia global para a probabilidade binomial:
P(# de sucessosobter exatamente algum)=(arranjos# de)×(de sucessoprobabilidade)(sucessos# de)×(de insucessoprobabilidade)(insucessos# de)
Usar o exemplo do Problema 1:
  • n, equals, 3 lançamentos livres
  • em cada lançamento livre ela pode "encestar" (sucesso) ou "falhar" (insucesso)
  • a probabilidade de ela concretizar um lançamento é start color #1fab54, p, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 0, comma, 90, end color #1fab54
  • assumindo que os lançamentos livres são independentes uns dos outros
P(encestar 2 de 3 lançamentos livres)= 3C2×(0,90)2×(0,10)1=3×0,81×0,10=3×0,081=0,243\begin{aligned}P(\text{encestar 2 de 3 lançamentos livres}) &= \, ^3\text{C}_2 \times(\greenD{0{,}90})^{2} \times (\maroonD{0{,}10})^1 \\ \\ &=3\times0{,}81\times0{,}10 \\ \\ &=3\times0{,}081 \\ \\ &=0{,}243\end{aligned}

Em geral...

P, left parenthesis, start text, e, x, a, t, a, m, e, n, t, e, space, end text, k, start text, space, s, u, c, e, s, s, o, s, end text, right parenthesis, equals, start superscript, n, end superscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, times, p, start superscript, k, end superscript, times, left parenthesis, 1, minus, p, right parenthesis, start superscript, n, minus, k, end superscript
Agora tenta usar estas estratégias para resolver outro problema.

Problema 2

O irmão mais novo da Sílvia, o Luís, tem uma probabilidade apenas de 20, percent de encestar um lançamento livre. Ele vai lançar 4 vezes.
Qual é a probabilidade de ele concretizar exatamente 2 dos 4 lançamentos livres?
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, r, space, e, x, a, t, a, m, e, n, t, e, space, 2, end text, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema desafio

A Sílvia promete comprar um gelado ao Luís se ele encestar 3 ou mais lançamentos, do total de 4 lançamentos livres que ele vai fazer.
Qual é a probabilidade de ele encestar 3 ou mais dos 4 lançamentos livres?
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, r, space, 3, space, o, u, space, m, a, i, s, end text, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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