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11.ºano

Lição 2: Progressões aritméticas

Progressão aritmética definida por recorrência

Aprender a encontrar as fórmulas de sequências aritméticas por recorrência. Por exemplo, encontrar a fórmula por recorrência de 3, 5, 7,...

Antes de iniciar esta lição, certifica-te que estás familiarizado com Introdução às expressões algébricas de progressões aritméticas.

A definição por recorrência dá-nos duas partes de informação:

O primeiro termo da progressão
A regra do padrão matemático para se chegar a qualquer termo a partir do termo anterior.

A seguir, temos a definição por recorrência da nossa progressão

3, 5, 7, …

juntamente com a interpretação para cada parte.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow o primeiro termo é 3 \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow adiciona 2 ao termo anterior \end{cases}

Na fórmula,

n

é a ordem do termo e

a (n)

é o termo de ordem

n

. Isto significa que

a (1)

é o primeiro termo, e

a (n - 1)

é o termo anterior ao termo de ordem

n

Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de desenvolver a progressão:

Boa! Esta definição dá-nos a mesma sequência descrita por

3, 5, 7, …

1) Descobre $b (4)$ ‍ da progressão dada por

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

Suponhamos que queríamos definir a progressão aritmética

5, 8, 11, …

por recorrência.

As duas partes da definição devem dar as seguintes informações:

O primeiro termo $($ ‍que é $5)$ ‍
A regra matemática para obter qualquer termo a partir do termo anterior $($ ‍que é "adicionar $3$ ‍" $)$ ‍

Portanto, a definição por recorrência deve ter o seguinte aspecto:

{\begin{cases} c (1) = 5 \\ c (n) = c (n - 1) + 3 \end{cases}

2) Qual é a definição por recorrência da progressão $12, 7, 2, …$ ‍ ?

3) Completa os valores A e B em falta na progressão $2, 8, 14, . .$ ‍ definida por recorrência.

{\begin{cases} e (1) = A \\ e (n) = e (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

4) Completa os valores A e B em falta na progressão $- 1, - 4, - 7, …$ ‍ definida por recorrência.

{\begin{cases} f (1) = A \\ f (n) = f (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

5) Aqui está a expressão geral de progressões aritméticas definidas por recorrência.

{\begin{cases} g (1) = A \\ g (n) = g (n - 1) + B \end{cases}

Qual é a razão da progressão?

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