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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 4

Lição 2: Progressões aritméticas
Matemática
11.ºano
Sucessões
Progressões aritméticas
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Introdução às expressões algébricas de progressões aritméticas

Google Classroom
Ficar à vontade com as expressões algébricas das progressões aritméticas, a fórmula do termo geral e a definição por recorrência.
Antes de iniciar esta lição, certifica-te que sabes os fundamentos das progressões aritméticas, e tens alguma experiência com cálculo de funções e domínio de uma função.

O que é uma fórmula?

Estamos habituados a descrever progressões aritméticas assim:
3,5,7,…
Mas há outras formas. Nesta lição, vamos aprender duas formas novas de representar progressões aritméticas: definição por recorrência e fórmula do termo geral. As fórmulas dão-nos instruções sobre como encontrar qualquer termo da progressão.
Para permanecerem gerais, as fórmulas usam n para representar a ordem de qualquer termo e a(n) para representar o termo de ordem n da progressão. Por exemplo, temos os primeiros termos da progressão aritmética 3,5,7,…
na(n)
(Ordem)(Termo)
13
25
37
Mencionámos em cima que as fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo da progressão. Matematicamente falando: as fórmulas dizem-nos como encontrar a(n) para qualquer n possível.

Testa o teu conhecimento

1) Descobrir a(4) na progressão aritmética 3, 5, 7, ...
a(4)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

2) Para qualquer número n do termo, o que é que a(n−1) representa?
Seleciona a opção correta.

Definição por recorrência de progressões aritméticas

A definição por recorrência dá-nos duas partes de informação:
  1. O primeiro termo da progressão
  2. A regra do padrão matemático para se chegar a qualquer termo a partir do termo anterior.
A seguir, temos a definição por recorrência da nossa progressão 3, 5, 7,..., juntamente com a interpretação para cada parte.
{a(1)=3←O primeiros termo é trêsa(n)=a(n−1)+2←Adicionar dois ao termo anterior.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de desenvolver a progressão:
a(n)=a(n−1)+2
a(1)=3
a(2)=a(1)+2=3+2=5
a(3)=a(2)+2=5+2=7
a(4)=a(3)+2=7+2=9
a(5)=a(4)+2=9+2=11
Boa! Esta definição dá-nos a mesma progressão descrita por 3,5,7,…

Testa o teu conhecimento

Agora é a tua vez de encontrar termos de progressões aritméticas usando as suas definições por recorrência.
Tal como usámos a(n) para representar o n−ésimo termo da sequência 3, 5, 7, ..., podemos usar outras letras para representar outras sequências. Por exemplo, podemos usar b(n), c(n), ou d(n).
3) Descobre b(4) da progressão definida por {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9
b(4)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

4) Descobre c(3) da progressão definida por {c(1)=20c(n)=c(n−1)−17
c(3)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

5) Descobre d(5) da progressão definida por {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4
d(5)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Termo geral de progressões aritméticas

Aqui está a fórmula do termo geral da progressão 3, 5, 7,...
a(n)=3+2(n−1)
Esta fórmula permite-nos simplesmente inserir o número da ordem do termo no qual estamos interessados e obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de inserir n=5 na fórmula do termo geral.
a(5)=3+2(5−1)=3+2×4=3+8=11
E eis que, obtivemos o mesmo resultado que anteriormente!

Testa o teu conhecimento

6) Descobre b(10) da progressão dada por b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

7) Descobre c(8) da progressão dada por c(n)=20−17(n−1).
c(8)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

8) Descobre d(21) da progressão dada por d(n)=2+0,4(n−1).
d(21)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Progressões são funções

Repara que as fórmulas que usamos nesta lição funcionam como funções: inserimos um número n, a ordem do termo, e como resultado, através da fórmula obtemos o valor desse termo a(n).
As progressões são, na verdade, definidas como funções. No entanto, n não pode tomar qualquer valor de número real . Não existe o termo −5o ou 0,4o termo de uma progressão.
Isto significa que o domínio de uma progressão (ou seja, o conjunto de todos os objetos possíveis da função) é o conjunto de números inteiros positivos.

Um apontamento sobre notação

Escrevemos a(4) para representar o 4o termo, por exemplo, mas também podemos escrever a4.
Ambas as notações estão corretas. Nós preferimos a(4) porque enfatiza que as progressões são funções.

Pergunta para reflexão

9) Qual tipo de fórmula é mais útil para encontrar rapidamente o 100o termo de uma progressão aritmética?
Seleciona a opção correta.

Desafio

10) A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é f(n)=3−4(n−1).
Que termo da progressão é igual a -65?
Termo número
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
.

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