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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 4

Lição 2: Progressões aritméticas
Matemática
11.ºano
Sucessões
Progressões aritméticas
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Termo geral e definição por recorrência de progressões aritméticas

Google Classroom
Aprender a fazer a conversão entre expressões por recorrência e termo geral de progressões aritméticas.
Antes de iniciares esta lição, certifica-te que sabes definir por recorrência e descobrir o termo geral de progressões aritméticas.

Escrever a expressão do termo geral a partir da definição por recorrência

Uma progressão aritmética pode ser definida por recorrência da seguinte forma.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2
Recorda que esta expressão dá-nos duas informações:
  • O primeiro termo é 3
  • Para se obter qualquer termo a partir do anterior, adiciona-se 2. Por outras palavras, a razão é 2.
Vamos escrever a expressão do termo geral da progressão.
Lembra-te que podemos representar uma progressão cujo primeiro termo é A e a razão é B, com a expressão padrão A+B(n−1).
Portanto, o termo geral da progressão é a(n)=3+2(n−1).

Testa o teu conhecimento

1) Escreve uma expressão do termo geral da progressão.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7
b(n)=

2) Escreve uma expressão do termo geral da progressão.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13
c(n)=

Escrever uma progressão aritmética por recorrência a partir do termo geral

Exemplo 1: A expressão é dada na forma padrão

Dão-nos a expressão do termo geral de uma progressão aritmética.
d(n)=5+16(n−1)
Esta expressão está na forma padrão A+B(n−1) onde A é o primeiro termo e B é a razão. Assim sendo,
  • O primeiro termo da progressão é 5, e
  • a razão é 16.
Vamos definir a progressão por recorrência. Lembra-te que ao fazê-lo existem duas partes de informação:
  1. O primeiro termo (que sabemos ser 5)
  2. O padrão matemático para obter qualquer termo da progressão a partir do anterior (que sabemos ser "adicionar 16")
Portanto, esta é a definição por recorrência da progressão.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16

Exemplo 2: Expressão dada na forma simplifcada

Dão-nos a expressão do termo geral de uma progressão aritmética.
e(n)=10+2n
Repara que esta expressão não está na forma padrão A+B(n−1).
Por esta razão, não podemos simplesmten usar a estrutura da fórmula para encontrar o primeiro termo e a razão. Em vez disso podemos descobrir os primeiros dois termos da progressão:
  • e(1)=10+2×1=12
  • e(2)=10+2×2=14
Agora, podemos ver que o primeiro termo é 12 e a razão é 2.
Portanto, esta é a definição por recorrência da progressão.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2

Testa o teu conhecimento

3) O termo geral de uma progressão aritmética é f(n)=5+12(n−1).
Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B
A=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

4) O termo geral de uma progressão aritmética é g(n)=−11−8(n−1).
Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B
A=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

5) O termo geral de uma progressão aritmética é h(n)=1+4n.
Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B
A=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

6) O termo geral de uma progressão aritmética é i(n)=23−6n.
Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B
A=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Desafio

7*) Seleciona todas as expressões que representam corretamente a progressão aritmética 101,114,127,…
Seleciona todas as respostas corretas:

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