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Prova da regra da cadeia

Demonstração da regra da cadeia para derivadas.
Como calcular a derivada de uma função composta:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
Há sempre algo que se aprende a partir da demonstração de uma regra! No geral, é sempre importante que te seja apresentada uma demonstração ou justificação para os teoremas que aprendes.

Em primeiro lugar, vamos provar duas pequenas afirmações de que vamos precisar para provar a regra da derivada da composta.

(As afirmações que são usadas numa prova são frequentemente chamadas de lemas.)

1. Se uma função é diferenciável, então é contínua.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Proof: Differentiability implies continuityVer a transcrição do vídeo

2. Se a função u for contínua em x, então Δu0 se Δx0.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
If function u is continuous at x, then Δu→0 As Δx→0 Ver a transcrição do vídeo

Agora estamos prontos para provar a regra da derivada da composta!

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Bónus: Podemos usar a regra da derivada da composta e a regra da derivada do produto para provar a regra da derivada do quociente.

A regra do quociente diz-nos como encontrar a derivada de um quociente:
ddx[f(x)g(x)]=ddx[f(x)]×g(x)f(x)×ddx[g(x)][g(x)]2=f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Quotient rule from product & chain rulesVer a transcrição do vídeo

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