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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 12: Regras de derivação

Prova da regra da cadeia

Demonstração da regra da cadeia para derivadas.

Como calcular a derivada de uma função composta:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

Há sempre algo que se aprende a partir da demonstração de uma regra! No geral, é sempre importante que te seja apresentada uma demonstração ou justificação para os teoremas que aprendes.

Em primeiro lugar, vamos provar duas pequenas afirmações de que vamos precisar para provar a regra da derivada da composta.

(As afirmações que são usadas numa prova são frequentemente chamadas de lemas.)

1. Se uma função é diferenciável, então é contínua.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Proof: Differentiability implies continuityVer a transcrição do vídeo

2. Se a função u for contínua em x, então delta, u, \to, 0 se delta, x, \to, 0.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

If function u is continuous at x, then Δu→0 As Δx→0 Ver a transcrição do vídeo

Agora estamos prontos para provar a regra da derivada da composta!

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Chain rule proofVer a transcrição do vídeo

Bónus: Podemos usar a regra da derivada da composta e a regra da derivada do produto para provar a regra da derivada do quociente.

A regra do quociente diz-nos como encontrar a derivada de um quociente:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\times g(x)-f(x)\times \dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{aligned}

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Quotient rule from product & chain rulesVer a transcrição do vídeo

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Em primeiro lugar, vamos provar duas pequenas afirmações de que vamos precisar para provar a regra da derivada da composta.

1. Se uma função é diferenciável, então é contínua.

2. Se a função uuuu for contínua em xxxx, então Δu→0\Delta u\to 0Δu→0delta, u, \to, 0 se Δx→0\Delta x\to 0Δx→0delta, x, \to, 0.

Agora estamos prontos para provar a regra da derivada da composta!

Bónus: Podemos usar a regra da derivada da composta e a regra da derivada do produto para provar a regra da derivada do quociente.

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2. Se a função u for contínua em x, então delta, u, \to, 0 se delta, x, \to, 0.