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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 12: Regras de derivação

Prova da regra da cadeia

Demonstração da regra da cadeia para derivadas.

Como calcular a derivada de uma função composta:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Há sempre algo que se aprende a partir da demonstração de uma regra! No geral, é sempre importante que te seja apresentada uma demonstração ou justificação para os teoremas que aprendes.

Em primeiro lugar, vamos provar duas pequenas afirmações de que vamos precisar para provar a regra da derivada da composta.

(As afirmações que são usadas numa prova são frequentemente chamadas de lemas.)

1. Se uma função é diferenciável, então é contínua.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Proof: Differentiability implies continuityVer a transcrição do vídeo

2. Se a função $u$ ‍ for contínua em $x$ ‍, então $Δ u \to 0$ ‍ se $Δ x \to 0$ ‍.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

If function u is continuous at x, then Δu→0 As Δx→0 Ver a transcrição do vídeo

Agora estamos prontos para provar a regra da derivada da composta!

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Chain rule proofVer a transcrição do vídeo

Bónus: Podemos usar a regra da derivada da composta e a regra da derivada do produto para provar a regra da derivada do quociente.

A regra do quociente diz-nos como encontrar a derivada de um quociente:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] & = \frac{\frac{d}{d x} [f (x)] \times g (x) - f (x) \times \frac{d}{d x} [g (x)]}{[g (x)]^{2}} \\ = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}} \end{aligned}

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Quotient rule from product & chain rulesVer a transcrição do vídeo

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Em primeiro lugar, vamos provar duas pequenas afirmações de que vamos precisar para provar a regra da derivada da composta.

1. Se uma função é diferenciável, então é contínua.

2. Se a função u‍ for contínua em x‍ , então Δu→0‍ se Δx→0‍ .

Agora estamos prontos para provar a regra da derivada da composta!

Bónus: Podemos usar a regra da derivada da composta e a regra da derivada do produto para provar a regra da derivada do quociente.

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2. Se a função $u$ ‍ for contínua em $x$ ‍, então $Δ u \to 0$ ‍ se $Δ x \to 0$ ‍.