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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 8: Operações com funções racionais
Matemática
11.ºano
Funções Reais de Variável Real
Operações com funções racionais
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Multiplicação de expressões racionais

Google Classroom
Aprende a calcular o produto de duas expressões racionais.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.
Podemos simplificar expressões racionais ao eliminar fatores comuns do denominador e do numerador.
Se não estás familiarizado com isto, recomendamos os seguintes artigos:

O que vais aprender nesta lição

Aqui, vais aprender a multiplicar expressões racionais.

Multiplicar frações

Para começar, vamos relembrar como se multiplicam frações numéricas.
Considera o seguinte exemplo:
=34⋅109=32⋅2⋅2⋅53⋅3Fatorizar os numeradores e os denominadores=32⋅2⋅2⋅53⋅3Cancelar fatores comuns=56Multiplicar\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{10}{9}\\\\ &=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD2\cdot 5}{\greenD3\cdot 3} &&\small{\gray{\text{Fatorizar os numeradores e os denominadores}}} \\\\ &=\dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD{\cancel{2}}\cdot 5}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}&&\small{\gray{\text{Cancelar fatores comuns}}} \\\\ &=\dfrac{5}{6}&&\small{\gray{\text{Multiplicar}}} \end{aligned}
Para multiplicar as duas frações, fatorizámos os numeradores e os denominadores, cancelámos fatores comuns e multiplicámos os fatores restantes no numerador e no denominador.

Exemplo 1: start fraction, 3, x, squared, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

Podemos multiplicar expressões racionais da mesma forma que multiplicamos frações numéricas.
=3x22⋅29x=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xFatorizar os numeradores e os denominadores(Nota: x≠0)=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xCancelar fatores comuns=x3Multiplicar\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^2}{2}\cdot\dfrac{2}{9x}\\\\\\ &=\dfrac{3\cdot x\cdot x}{2}\cdot \dfrac{2}{3\cdot 3\cdot \goldD x}&& \small{\gray{\text{Fatorizar os numeradores e os denominadores}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Nota: } \goldD{x\neq 0})}\\ \\ \\&=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{ x}}\cdot x}{\purpleC{\cancel{2}}}\cdot \dfrac{\purpleC{\cancel{2}}}{\blueD{\cancel{ 3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{ x}}}&& \small{\gray{\text{Cancelar fatores comuns}}} \\ \\ &=\dfrac{x}{3}&&\small{\gray{\text{Multiplicar}}} \end{aligned}
Repara que a expressão original está definida para x tal que x, does not equal, 0. Quando simplificámos o produto, esta informação perdeu-se. Por isso, temos de especificar que x, does not equal, 0 para obter uma expressão equivalente.
A expressão simplificada do produto é:
start fraction, x, divided by, 3, end fraction quando x, does not equal, 0

Testa o teu conhecimento

1) Calcula e simplifica.
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 12, x, cubed, end fraction, equals
para x, does not equal
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemplo 2: start fraction, x, squared, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, dot, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

Mais uma vez, fatorizamos os denominadores e os numeradores de ambas as expressões, eliminamos os fatores comuns e efetuamos as multiplicações restantes. Por fim, temos de ter em conta as restrições da expressão original.
=x2−x−65x+5⋅5x−3=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Fatorizar os denominadores e nos numeradores(Nota: x≠−1 e x≠3)=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Cancelar fatores comuns=x+2x+1Multiplicar\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2-x-6}{5x+5}\cdot\dfrac {5}{x-3}\\\\\\ &=\dfrac{(x-3)(x+2)}{5\cdot \goldD{(x+1)}}\cdot \dfrac{5}{\maroonD{x-3}}&&\small{\gray{\text{Fatorizar os denominadores e nos numeradores}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Nota: }\goldD{x\neq -1}} \text{ e }\maroonD{x\neq 3} )\\ \\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x-3)}}{(x+2)}}{\greenD{\cancel{5}}\cdot({x+1})}\cdot \dfrac{{\greenD{\cancel{5}}}}{\blueD{\cancel{x-3}}}&&\small{\gray{\text{Cancelar fatores comuns}}}\\ \\ &=\dfrac{x+2}{x+1}&&\small{\gray{\text{Multiplicar}}} \end{aligned}
A expressão original está definida para qualquer x tal que x, does not equal, minus, 1 e x, does not equal, 3. A expressão simplificada do produto deve conter as mesmas restrições. ​
O produto de duas expressões racionais é indefinido para qualquer valor para o qual pelo menos uma das expressões a multiplicar não esteja definida.

Testa o teu conhecimento

2) Calcula e simplifica.
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, dot, start fraction, x, squared, minus, 4, divided by, x, squared, end fraction, equals
Quais são as restrições do domínio da expressão resultante?
Seleciona todas as respostas corretas:

3) Calcula e simplifica.
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, dot, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
Quais são as restrições do domínio da expressão resultante?
Seleciona todas as respostas corretas:

O que se segue?

Se já estás à vontade a multiplicar expressões racionais, podes avançar para a divisão de expressões racionais.

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