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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 8: Operações com funções racionais

Introdução à adição e subtração de expressões racionais

Aprende a adicionar ou subtrair duas expressões racionais para obter uma única expressão.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração de dois polinómios. Por exemplo, a expressão

\frac{x + 2}{x + 1}

é uma expressão racional.

Se não estiveres à vontade com funções e expressões racionais, vê a introdução às funções racionais.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, vais aprender a adicionar e subtrair expressões racionais.

Adição e subtração de expressões racionais (mesmo denominador)

Frações numéricas

Podemos adicionar e subtrair expressões racionais da mesma forma que adicionamos e subtraímos frações numéricas.

A soma (ou diferença) de duas frações com o mesmo denominador é igual à soma (ou diferença) dos dois numeradores sobre o denominador comum.

$\begin{aligned} \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \\ = \frac{4 - 1}{5} \\ = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Expressões com variáveis

O processo é semelhante para expressões racionais:

$\begin{aligned} \frac{7 a + 3}{a + 2} + \frac{2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{(7 a + 3) + (2 a - 1)}{a + 2} & Adicionar as frações \\ = \frac{7 a + 3 + 2 a - 1}{a + 2} & Remover os parênteses \\ = \frac{9 a + 2}{a + 2} & Adicionar termos do mesmo grau \end{aligned}$ ‍

Ao juntar duas frações de uma subtração, não te esqueças de que todo o numerador da segunda fração deve ser afetado pelo sinal negativo. É uma boa prática manter cada numerador dentro de parênteses e, ao removê-los, usar a propriedade distributiva no segundo numerador.

Por exemplo:

$\begin{aligned} \frac{b + 1}{b^{2}} - \frac{4 - b}{b^{2}} \\ = \frac{(b + 1) - (4 - b)}{b^{2}} & Subtrair as frações \\ = \frac{b + 1 - 4 + b}{b^{2}} & Remover os parênteses e usar a propriedade distributiva \\ = \frac{2 b - 3}{b^{2}} & Adicionar termos do mesmo grau \end{aligned}$ ‍

Testa o teu conhecimento

1) $\frac{x + 5}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 1} =$ ‍

[Preciso de ajuda!]

2) $\frac{x + 1}{2 x} - \frac{5 x - 2}{2 x} =$ ‍

[Preciso de ajuda!]

Adição e subtração de expressões racionais (denominadores diferentes)

Frações numéricas

Para perceber como se adiciona e subtrai expressões racionais com denominadores diferentes, vamos relembrar o procedimento para frações numéricas.

Por exemplo, vamos calcular

\frac{2}{3} + \frac{1}{2}

$\begin{aligned} \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ = \frac{2}{3} (\frac{2}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{3}{3}) & Reduzir ao mesmo denominador \\ = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \\ = \frac{7}{6} \end{aligned}$ ‍

Repara que precisámos de um denominador comum, neste caso

6

, para efetuar a adição das duas frações.

O denominador da primeira fração $(3)$ ‍ precisou de um fator de $2$ ‍.
O denominador da segunda fração $(2)$ ‍ precisou de um fator de $3$ ‍.

Em cada fração, multiplicou-se pelo fator necessário no denominador e no numerador, como se estivéssemos a multiplicar toda a fração por

1

Expressões com variáveis

Vamos agora analisar o seguinte exemplo:

$\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5}$ ‍

Para reduzir as duas frações ao mesmo denominador, a primeira precisa de um fator de

x + 5

e a segunda precisa de uma fator de

x - 3

. Depois de alguma manipulação algébrica, podemos adicionar as frações.

\begin{aligned} \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5} \\ = \frac{1}{x - 3} (\frac{x + 5}{x + 5}) + \frac{2}{x + 5} (\frac{x - 3}{x - 3}) & Reduzir ao mesmo denominador \\ = \frac{1 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} + \frac{2 (x - 3)}{(x + 5) (x - 3)} \\ = \frac{1 (x + 5) + 2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 5)} & Adicionar \\ = \frac{1 x + 5 + 2 x - 6}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 5)} \end{aligned}

Repara que podemos multiplicar cada fração, respetivamente, por

\frac{x + 5}{x + 5}

\frac{x - 3}{x - 3}

, uma vez que é o mesmo que multiplicar por

1

, o elemento neutro da multiplicação!

[E as restrições aos possíveis valores de $x$?]

Nos últimos dois passos, simplificámos o numerador. Também poderíamos ter efetuado o produto de

(x - 3)

com

(x + 5)

no denominador, mas é comum deixar o denominador na forma fatorizada.

Testa o teu conhecimento

3) $\frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} =$ ‍

[Preciso de ajuda!]

4) $\frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} =$ ‍

[Preciso de ajuda!]

O que se segue?

No próximo artigo podes ver alguns exemplos mais desafiantes sobre como adicionar e subtrair expressões racionais.

Vais aprender sobre o mínimo denominador comum e a sua importância ao adicionar e subtrair expressões racionais em geral.

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