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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 8: Operações com funções racionais
Matemática
11.ºano
Funções Reais de Variável Real
Operações com funções racionais
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Introdução à adição e subtração de expressões racionais

Google Classroom
Aprende a adicionar ou subtrair duas expressões racionais para obter uma única expressão.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração de dois polinómios. Por exemplo, a expressão start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction é uma expressão racional.
Se não estiveres à vontade com funções e expressões racionais, vê a introdução às funções racionais.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, vais aprender a adicionar e subtrair expressões racionais.

Adição e subtração de expressões racionais (mesmo denominador)

Frações numéricas

Podemos adicionar e subtrair expressões racionais da mesma forma que adicionamos e subtraímos frações numéricas.
A soma (ou diferença) de duas frações com o mesmo denominador é igual à soma (ou diferença) dos dois numeradores sobre o denominador comum.
=45−15=4−15=35\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD4}{\purpleC5}-\dfrac{\blueD1}{\purpleC5}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{4}-\blueD{1}}{\purpleC 5}\\ \\ &=\dfrac{3}{5} \end{aligned}

Expressões com variáveis

O processo é semelhante para expressões racionais:
=7a+3a+2+2a−1a+2=(7a+3)+(2a−1)a+2Adicionar as fraço˜es=7a+3+2a−1a+2Remover os pareˆnteses=9a+2a+2Adicionar termos do mesmo grau\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD{7a+3}}{\purpleC{a+2}}+\dfrac{\blueD{2a-1}}{\purpleC{a+2}}\\\\\\ &=\dfrac{(\blueD{7a+3})+(\blueD{2a-1})}{\purpleC{a+2}}&&\small{\gray{\text{Adicionar as frações}}}\\ \\ &=\dfrac{{7a+3}+{2a-1}}{{a+2}}&&\small{\gray{\text{Remover os parênteses}}}\\ \\ &=\dfrac{9a+2}{a+2}&&\small{\gray{\text{Adicionar termos do mesmo grau}}} \end{aligned}
Ao juntar duas frações de uma subtração, não te esqueças de que todo o numerador da segunda fração deve ser afetado pelo sinal negativo. É uma boa prática manter cada numerador dentro de parênteses e, ao removê-los, usar a propriedade distributiva no segundo numerador.
Por exemplo:
=b+1b2−4−bb2=(b+1)−(4−b)b2Subtrair as fraço˜es=b+1−4+bb2Remover os pareˆnteses e usar a propriedade distributiva=2b−3b2Adicionar termos do mesmo grau\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD{b+1}}{\purpleC{b^2}}-\dfrac{\blueD{4-b}}{\purpleC{b^2}}\\\\\\ &=\dfrac{(\blueD{b+1})-(\blueD{4-b})}{\purpleC{b^2}}&&\small{\gray{\text{Subtrair as frações}}}\\ \\ &=\dfrac{b+1-4+b}{{b^2}}&&\small{\gray{\text{Remover os parênteses e usar a propriedade distributiva}}}\\ \\ &=\dfrac{2b-3}{b^2}&&\small{\gray{\text{Adicionar termos do mesmo grau}}} \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

1) start fraction, x, plus, 5, divided by, x, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, minus, 1, end fraction, equals

2) start fraction, x, plus, 1, divided by, 2, x, end fraction, minus, start fraction, 5, x, minus, 2, divided by, 2, x, end fraction, equals

Adição e subtração de expressões racionais (denominadores diferentes)

Frações numéricas

Para perceber como se adiciona e subtrai expressões racionais com denominadores diferentes, vamos relembrar o procedimento para frações numéricas.
Por exemplo, vamos calcular start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
=23+12=23(22)+12(33)Reduzir ao mesmo denominador=46+36=76\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD3}+\dfrac{1}{\tealD2}\\\\\\ &=\dfrac{2}{\blueD3} \left(\tealD{\dfrac{2}{2}}\right)+\dfrac{1}{\tealD2}\left( \blueD{\dfrac{3}{3}}\right)&&\small{\gray{\text{Reduzir ao mesmo denominador}}}\\ \\ &=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}\\ \\ &=\dfrac{7}{6} \end{aligned}
Repara que precisámos de um denominador comum, neste caso 6, para efetuar a adição das duas frações.
  • O denominador da primeira fração left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, right parenthesis precisou de um fator de start color #01a995, 2, end color #01a995.
  • O denominador da segunda fração left parenthesis, start color #01a995, 2, end color #01a995, right parenthesis precisou de um fator de start color #11accd, 3, end color #11accd.
Em cada fração, multiplicou-se pelo fator necessário no denominador e no numerador, como se estivéssemos a multiplicar toda a fração por 1.

Expressões com variáveis

Vamos agora analisar o seguinte exemplo:
start fraction, 1, divided by, start color #11accd, x, minus, 3, end color #11accd, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, start color #01a995, x, plus, 5, end color #01a995, end fraction
Para reduzir as duas frações ao mesmo denominador, a primeira precisa de um fator de start color #01a995, x, plus, 5, end color #01a995 e a segunda precisa de uma fator de start color #11accd, x, minus, 3, end color #11accd. Depois de alguma manipulação algébrica, podemos adicionar as frações.
=1x−3+2x+5=1x−3(x+5x+5)+2x+5(x−3x−3)Reduzir ao mesmo denominador=1(x+5)(x−3)(x+5)+2(x−3)(x+5)(x−3)=1(x+5)+2(x−3)(x−3)(x+5)Adicionar=1x+5+2x−6(x−3)(x+5)=3x−1(x−3)(x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{1}{\blueD{x-3}}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}}\\\\\\ &=\dfrac{1}{\blueD{x-3}}{\left(\tealD{\dfrac{x+5}{x+5}}\right)}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}{\left(\blueD{\dfrac{x-3}{x-3}}\right)}&&\small{\gray{\text{Reduzir ao mesmo denominador}}}\\\\\\ &=\dfrac{1(x+5)}{(x-3)(x+5)}+\dfrac{2(x-3)}{(x+5)(x-3)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{1(x+5)+2(x-3)}{(x-3)(x+5)}&&\small{\gray{\text{Adicionar}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{1x+5+2x-6}{(x-3)(x+5)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x-1}{(x-3)(x+5)} \end{aligned}
Repara que podemos multiplicar cada fração, respetivamente, por start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction e start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction, uma vez que é o mesmo que multiplicar por 1, o elemento neutro da multiplicação!
Nos últimos dois passos, simplificámos o numerador. Também poderíamos ter efetuado o produto de left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis com left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis no denominador, mas é comum deixar o denominador na forma fatorizada.

Testa o teu conhecimento

3) start fraction, 3, divided by, x, plus, 4, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals

4) start fraction, 2, divided by, x, minus, 1, end fraction, minus, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, equals

O que se segue?

No próximo artigo podes ver alguns exemplos mais desafiantes sobre como adicionar e subtrair expressões racionais.
Vais aprender sobre o mínimo denominador comum e a sua importância ao adicionar e subtrair expressões racionais em geral.

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