Conteúdo principal

11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 8: Operações com funções racionais

Adição e subtração de expressões racionais (avançado)

Já sabes o básico da adição/subtração das expressões racionais? Ótimo! Agora aprofunda com alguns exemplos mais avançados.

O que precisas de saber para esta lição

Uma expressão racional é uma fração de dois polinómios.

A soma (ou diferença) de duas frações com o mesmo denominador é igual à soma (ou diferença) dos dois numeradores sobre o denominador comum.

Quando os denominadores não são iguais, temos de reduzir as expressões ao mesmo denominador, ou seja, manipular as frações para encontrar um denominador comum.

Se isto é novo para ti, recomendamos que vejas primeiro estes artigos:

O que vais aprender nesta lição

Nesta aula, vais praticar a adição e subtração de expressões racionais com denominadores diferentes. Vais usar o menor denominador comum e perceber quais as suas vantagens.

Aquecimento: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

Para subtrair duas expressões racionais, ambas devem ter o mesmo denominador!

Neste exemplo, podemos criar um denominador comum multiplicando a primeira fração por

(\frac{x + 1}{x + 1})

e a segunda por

(\frac{x - 2}{x - 2})

[Porque é que podemos fazer isto?]

Depois, podemos simplesmente subtrair os denominadores e dividir pelo denominador comum encontrado.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) & Reduzir ao mesmo denominador \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} & Subtrair \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

1) $\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =$ ‍

[Preciso de ajuda!]

Menor denominador comum

Frações numéricas

Por vezes, denominadores diferentes podem ter alguns fatores em comum.

No caso numérico considera

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) & Reduzir ao mesmo denominador \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Repara que neste caso não nos limitámos a fazer o produto dos dois denominadores para encontrar um denominador comum

(24)

. Em vez disso, usámos o mínimo múltiplo comum entre

4

6

(12)

[O que é o mínimo múltiplo comum?]

O menor múltiplo comum entre os denominadores de duas ou mais frações é chamado o menor denominador comum.

[Como sabíamos que $12$ era o menor denominador comum?]

Expressões com variáveis

Vamos agora aplicar este raciocínio à soma seguinte:

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}$ ‍

Primeiro, vamos encontrar o menor denominador comum.

O menor denominador comum é

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

Podemos adicionar as expressões racionais da seguinte forma:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) & Menor denominador comum \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} & Adicionar \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

2) $\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =$ ‍

[Preciso de ajuda!]

3) $\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =$ ‍

[Preciso de ajuda!]

Desafio

4*)

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

[Preciso de ajuda!]

Porquê usar o menor denominador comum?

Deves estar a questionar-te sobre a importância de se usar o menor denominador comum para adicionar ou subtrair expressões racionais.

Na verdade, não é um procedimento estritamente necessário.

Por exemplo, na tabela abaixo podes ver os cálculos para

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

usando diferentes formas de reduzir ao mesmo denominador - uma usando o menor denominador comum

(12)

e outra simplesmente multiplicando os dois denominadores originais

(24)

Com menor denominador comum $(12)$ ‍	‍Sem menor denominador comum $(24)$ ‍
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Repara que no método da direita obtemos um denominador maior,

24

, e foi necessário fazer mais cálculos. Os números obtidos nas frações foram maiores e houve a necessidade de simplificar a fração obtida no final.

O mesmo irá acontecer quando se lida com expressões racionais.

No entanto, com expressões racionais, os cálculos são mais complicados pois tratam-se de polinómios em vez de simples números inteiros! Se não usares o menor denominador comum, ficarás com polinómios de maior grau e terás de simplificar a expressão obtida.

[Gostaria de ver um exemplo com expressões racionais]

Todo este trabalho extra pode ser evitado ao usar o menor denominador comum ao reduzir expressões racionais ao mesmo denominador para adicionar ou subtrair.

Queres participar na conversa?

Iniciar sessão

Ordenar por:

Ainda não há comentários.

Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.

11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

O que precisas de saber para esta lição

O que vais aprender nesta lição

Aquecimento: 3x−2−2x+1‍

Testa o teu conhecimento

Menor denominador comum

Frações numéricas

Expressões com variáveis

Testa o teu conhecimento

Desafio

Porquê usar o menor denominador comum?

Queres participar na conversa?

Aquecimento: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍