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Adição e subtração de expressões racionais (avançado)

Já sabes o básico da adição/subtração das expressões racionais? Ótimo! Agora aprofunda com alguns exemplos mais avançados.

O que precisas de saber para esta lição

Uma expressão racional é uma fração de dois polinómios.
A soma (ou diferença) de duas frações com o mesmo denominador é igual à soma (ou diferença) dos dois numeradores sobre o denominador comum.
Quando os denominadores não são iguais, temos de reduzir as expressões ao mesmo denominador, ou seja, manipular as frações para encontrar um denominador comum.
Se isto é novo para ti, recomendamos que vejas primeiro estes artigos:

O que vais aprender nesta lição

Nesta aula, vais praticar a adição e subtração de expressões racionais com denominadores diferentes. Vais usar o menor denominador comum e perceber quais as suas vantagens.

Aquecimento: 3x22x+1

Para subtrair duas expressões racionais, ambas devem ter o mesmo denominador!
Neste exemplo, podemos criar um denominador comum multiplicando a primeira fração por (x+1x+1) e a segunda por (x2x2).
Depois, podemos simplesmente subtrair os denominadores e dividir pelo denominador comum encontrado.
=3x22x+1=3x2(x+1x+1)2x+1(x2x2)Reduzir ao mesmo denominador=3(x+1)(x2)(x+1)2(x2)(x+1)(x2)=3(x+1)2(x2)(x2)(x+1)Subtrair=3x+32x+4(x2)(x+1)=x+7(x2)(x+1)

Testa o teu conhecimento

1) 5xx+3+4x+2=

Menor denominador comum

Frações numéricas

Por vezes, denominadores diferentes podem ter alguns fatores em comum.
No caso numérico considera 34+16:
=34+16=322+123=322(33)+123(22)Reduzir ao mesmo denominador=912+212=1112
Repara que neste caso não nos limitámos a fazer o produto dos dois denominadores para encontrar um denominador comum (24). Em vez disso, usámos o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 (12).
O menor múltiplo comum entre os denominadores de duas ou mais frações é chamado o menor denominador comum.

Expressões com variáveis

Vamos agora aplicar este raciocínio à soma seguinte:
2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)
Primeiro, vamos encontrar o menor denominador comum.
O menor denominador comum é (x2)(x+1)(x+3).
Podemos adicionar as expressões racionais da seguinte forma:
=2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x2x2)Menor denominador comum=2(x+3)(x2)(x+1)(x+3)+3(x2)(x+1)(x+3)(x2)=2(x+3)+3(x2)(x2)(x+1)(x+3)Adicionar=2x+6+3x6(x2)(x+1)(x+3)=5x(x2)(x+1)(x+3)

Testa o teu conhecimento

2) 1x(x6)+3(x+1)(x6)=

3) 3x2(x1)4(x1)(x+2)=

Desafio

4*) 2x21+1x23x4=

Porquê usar o menor denominador comum?

Deves estar a questionar-te sobre a importância de se usar o menor denominador comum para adicionar ou subtrair expressões racionais.
Na verdade, não é um procedimento estritamente necessário.
Por exemplo, na tabela abaixo podes ver os cálculos para 34+16 usando diferentes formas de reduzir ao mesmo denominador - uma usando o menor denominador comum (12) e outra simplesmente multiplicando os dois denominadores originais (24).
Com menor denominador comum (12)     Sem menor denominador comum (24)
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=111212       34+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112
Repara que no método da direita obtemos um denominador maior, 24, e foi necessário fazer mais cálculos. Os números obtidos nas frações foram maiores e houve a necessidade de simplificar a fração obtida no final.
O mesmo irá acontecer quando se lida com expressões racionais.
No entanto, com expressões racionais, os cálculos são mais complicados pois tratam-se de polinómios em vez de simples números inteiros! Se não usares o menor denominador comum, ficarás com polinómios de maior grau e terás de simplificar a expressão obtida.
Todo este trabalho extra pode ser evitado ao usar o menor denominador comum ao reduzir expressões racionais ao mesmo denominador para adicionar ou subtrair.

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