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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 8: Operações com funções racionais
Matemática
11.ºano
Funções Reais de Variável Real
Operações com funções racionais
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Adição e subtração de expressões racionais (avançado)

Google Classroom
Já sabes o básico da adição/subtração das expressões racionais? Ótimo! Agora aprofunda com alguns exemplos mais avançados.

O que precisas de saber para esta lição

Uma expressão racional é uma fração de dois polinómios.
A soma (ou diferença) de duas frações com o mesmo denominador é igual à soma (ou diferença) dos dois numeradores sobre o denominador comum.
Quando os denominadores não são iguais, temos de reduzir as expressões ao mesmo denominador, ou seja, manipular as frações para encontrar um denominador comum.
Se isto é novo para ti, recomendamos que vejas primeiro estes artigos:

O que vais aprender nesta lição

Nesta aula, vais praticar a adição e subtração de expressões racionais com denominadores diferentes. Vais usar o menor denominador comum e perceber quais as suas vantagens.

Aquecimento: start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

Para subtrair duas expressões racionais, ambas devem ter o mesmo denominador!
Neste exemplo, podemos criar um denominador comum multiplicando a primeira fração por left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesis e a segunda por left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis.
Depois, podemos simplesmente subtrair os denominadores e dividir pelo denominador comum encontrado.
=3x−2−2x+1=3x−2(x+1x+1)−2x+1(x−2x−2)Reduzir ao mesmo denominador=3(x+1)(x−2)(x+1)−2(x−2)(x+1)(x−2)=3(x+1)−2(x−2)(x−2)(x+1)Subtrair=3x+3−2x+4(x−2)(x+1)=x+7(x−2)(x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueD{x-2}}-\dfrac{2}{\greenD{x+1}}}\\\\\\ &=\dfrac{3}{\blueD{x-2}}{\left(\greenD{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)}-\dfrac{2}{\greenD{x+1}}{\left(\blueD{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)}&&\small{\gray{\text{Reduzir ao mesmo denominador}}}\\\\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}&&\small{\gray{\text{Subtrair}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

1) start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

Menor denominador comum

Frações numéricas

Por vezes, denominadores diferentes podem ter alguns fatores em comum.
No caso numérico considera start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction:
=34+16=32⋅2+12⋅3=32⋅2(33)+12⋅3(22)Reduzir ao mesmo denominador=912+212=1112\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}\\\\\\ &=\dfrac{3}{\blueD2\cdot \greenD2}+\dfrac{1}{\blueD2\cdot \goldD3}\\ \\ &=\dfrac{3}{\blueD2\cdot \greenD2} {\left(\dfrac{\goldD3}{\goldD3}\right)}+\dfrac{1}{\blueD2\cdot\goldD3}{\left(\dfrac{\greenD2}{\greenD2}\right)}&&\small{\gray{\text{Reduzir ao mesmo denominador}}}\\ \\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\ \\ &=\dfrac{11}{12} \end{aligned}
Repara que neste caso não nos limitámos a fazer o produto dos dois denominadores para encontrar um denominador comum left parenthesis, 24, right parenthesis. Em vez disso, usámos o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 left parenthesis, 12, right parenthesis.
O menor múltiplo comum entre os denominadores de duas ou mais frações é chamado o menor denominador comum.

Expressões com variáveis

Vamos agora aplicar este raciocínio à soma seguinte:
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Primeiro, vamos encontrar o menor denominador comum.
O menor denominador comum é start color #11accd, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #1fab54, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color #1fab54, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff.
Podemos adicionar as expressões racionais da seguinte forma:
=2(x−2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x−2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x−2x−2)Menor denominador comum=2(x+3)(x−2)(x+1)(x+3)+3(x−2)(x+1)(x+3)(x−2)=2(x+3)+3(x−2)(x−2)(x+1)(x+3)Adicionar=2x+6+3x−6(x−2)(x+1)(x+3)=5x(x−2)(x+1)(x+3)\small\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD{(x-2)}\greenD{(x+1)}}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)}\purpleC{(x+3)}}\\ \\\\ &=\dfrac{2}{\blueD{(x-2)}\greenD{(x+1)}}{\left(\purpleC{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)}\purpleC{(x+3)}}{\left(\blueD{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)}&&\tiny{\gray{\text{Menor denominador comum}}}\\\\ \\\\ &=\dfrac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)}+\dfrac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)}\\ \\\\ &=\dfrac{2(x+3)+3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)}&&\small{\gray{\text{Adicionar}}}\\ \\\\ &=\dfrac{2x+6+3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)}\\ \\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)} \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

2) start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

3) start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

Desafio

4*) start fraction, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

Porquê usar o menor denominador comum?

Deves estar a questionar-te sobre a importância de se usar o menor denominador comum para adicionar ou subtrair expressões racionais.
Na verdade, não é um procedimento estritamente necessário.
Por exemplo, na tabela abaixo podes ver os cálculos para start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction usando diferentes formas de reduzir ao mesmo denominador - uma usando o menor denominador comum left parenthesis, 12, right parenthesis e outra simplesmente multiplicando os dois denominadores originais left parenthesis, 24, right parenthesis.
Com menor denominador comum left parenthesis, 12, right parenthesisspace, space, space, space, spaceSem menor denominador comum left parenthesis, 24, right parenthesis
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=111212\begin{aligned}~\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{3}{\blueD4} {\left(\dfrac{\goldD3}{\goldD3}\right)}+\dfrac{1}{\greenD6}{\left(\dfrac{\purpleD2}{\purpleD2}\right)}\\\\&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\\\&=\dfrac{11}{12}\\\\&\phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}       34+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112~~~~~~~\begin{aligned}\dfrac{3}{\blueD4}+\dfrac{1}{\greenD6}&=\dfrac{3}{\blueD4}\left(\greenD{\dfrac{6}{6}}\right)+\dfrac{1}{\greenD6}\left(\blueD{\dfrac{4}{4}}\right)\\\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{4}{24}\\\\&=\dfrac{22}{24}\\\\&=\dfrac{11}{12}\end{aligned}
Repara que no método da direita obtemos um denominador maior, 24, e foi necessário fazer mais cálculos. Os números obtidos nas frações foram maiores e houve a necessidade de simplificar a fração obtida no final.
O mesmo irá acontecer quando se lida com expressões racionais.
No entanto, com expressões racionais, os cálculos são mais complicados pois tratam-se de polinómios em vez de simples números inteiros! Se não usares o menor denominador comum, ficarás com polinómios de maior grau e terás de simplificar a expressão obtida.
Todo este trabalho extra pode ser evitado ao usar o menor denominador comum ao reduzir expressões racionais ao mesmo denominador para adicionar ou subtrair.

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