Conteúdo principal

Limites

Aprende o que é o comportamento final de um polinómio e como podemos encontrá-lo a partir da equação do polinómio.

Nesta aula, vais aprender o que são os "limites no infinito" de um polinómio e como é que os podes analisar a partir de um gráfico ou a partir de uma equação polinomial.

O que são os "limites no infinito" de uma função polinomial?

Os limites no infinito de uma função f descrevem o comportamento do gráfico da função nas extremidades do eixo dos x, x.

Por outras palavras, os limites no infinito de uma função descrevem as tendências do gráfico se olharmos para a extremidade direita do eixo dos x, x (no limite em que x tende para plus, infinity) e para a extremidade esquerda do eixo x (no limite em que x tende para minus, infinity).

Por exemplo, considera este gráfico, da função polinomial f. Nota que à medida que nos deslocamos para a direita no eixo dos x, x, o gráfico de f vai para cima. Isto significa que, à medida que x aumenta, f, left parenthesis, x, right parenthesis aumenta também.

Matematicamente, podemos escrever: no limite em que x, right arrow, plus, infinity, temos f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. (Que é o mesmo que, "o limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis quando x tende para mais infinito é mais infinito.")

No lado esquerdo do gráfico, à medida que nos deslocamos para a esquerda ao longo do eixo dos x, x (imagina x aproximar-se de minus, infinity), o gráfico de f vai para baixo. Isto significa que à medida que x se torna mais e mais negativo, f, left parenthesis, x, right parenthesis também se torna mais e mais negativa.

Matematicamente, escrevemos: no limite em que x, right arrow, minus, infinity, temos f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. (Que é o mesmo que dizer: "o limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis quando x tende para menos infinito é menos infinito.")

Testa o teu conhecimento

1) Este é o gráfico de y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Quais são os limites da função g quando x tende para mais infinito e menos infinito?

(Escolha A)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha B)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
(Escolha C)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha D)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

[Preciso de ajuda!]

Calcular os limites no infinito

Também podemos determinar os limites no infinito de uma função polinomial através da sua expressão. Normalmente isto é útil para desenhar o gráfico da função, visto que conhecer os limites no infinito ajuda-nos a visualizar o gráfico nas "extremidades".

Para determinar os limites no infinito de um polinómio f a partir da sua equação, podemos pensar nos valores da função para valores positivos elevados e valores negativos elevados de x.

Mais concretamente, tentamos responder às duas questões seguintes:

Quando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis tende para que valor?
Quando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis tende para que valor?

Caso em que o polinómio é um monómio

As funções monomiais correspondem a polinómios da forma y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, onde a é um número real e n é um inteiro não negativo.

Vamos examinar algebricamente os limites no infinito de vários monómios e ver se podemos tirar algumas conclusões.

2) Considera o monómio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.

Para valores elevados e positivos de x, qual das opções é que melhor descreve f, left parenthesis, x, right parenthesis?

Para valores de x negativos e elevados, qual das opções melhor descreve f, left parenthesis, x, right parenthesis?

[Preciso de ajuda!]

3) Considera o monómio g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.

Para valores elevados e positivos de x, qual das opções é que melhor descreve g, left parenthesis, x, right parenthesis?

Para valores de x negativos e elevados, qual das opções melhor descreve o valor de g, left parenthesis, x, right parenthesis?

[Preciso de ajuda!]

4) Considera o monómio h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.

Para valores elevados e positivos de x, qual das opções é que melhor descreve h, left parenthesis, x, right parenthesis?

Para valores de x negativos e elevados, qual das opções melhor descreve o valor de h, left parenthesis, x, right parenthesis?

[Preciso de ajuda!]

5) Considera o monómio j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.

Para valores elevados e positivos de x, qual das opções é que melhor descreve j, left parenthesis, x, right parenthesis?

Para valores de x negativos e elevados, qual das opções melhor descreve j, left parenthesis, x, right parenthesis?

[Preciso de ajuda!]

Conclusão

Repara como é que o grau do monómio left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis e o coeficiente left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, right parenthesis afetam os limites no infinito.

Quando n é par, os limites no infinito da função nas duas "extremidades" são iguais. O sinal do coeficiente do monómio determina se ambos se aproximam de plus, infinity ou se ambos se aproximam de minus, infinity.

Quando n é ímpar, o comportamento da função em ambas as "extremidades" é oposto. O sinal do coeficiente do monómio determina qual dos limites é plus, infinity e qual dos limites é minus, infinity.

O resumo dos resultados está disponível na tabela abaixo.

Limites no infinito de Monómios: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #1fab54, a, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, n, end color #11accd, end superscript
start color #11accd, n, end color #11accd é par e start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0	start color #11accd, n, end color #11accd é par e start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0
No limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, e no limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.	No limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, e no limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point

start color #11accd, n, end color #11accd é ímpar e start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0	start color #11accd, n, end color #11accd é ímpar e start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0
No limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, e no limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.	No limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, e no limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point

Testa o teu conhecimento

6) Quais são os limites no infinito de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, cubed?

(Escolha A)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha B)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
(Escolha C)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha D)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

[Preciso de ajuda!]

Limites no infinito de polinómios

Agora sabemos como encontrar os limites no infinito de monómios. Mas o que é que acontece no caso dos polinómios que não são monómios? Como é que podemos determinar os limites no infinito de funções como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x?

Os limites no infinito de uma função polinomial são iguais aos limites do termo de maior grau.

Por isso, os limites de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x são iguais aos limites do monómio minus, 3, x, squared.

O grau de start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript é left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis e por isso é par. Além disso, o coeficiente left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis é negativo. Assim, temos: no limite em que x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, e no limite em que x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Testa o teu conhecimento

7) Quais são os limites no infinito de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 10, x, minus, 1?

(Escolha A)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, e no limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha B)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, e no limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
(Escolha C)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, e no limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha D)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, e no limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

[Preciso de ajuda!]

8) Quais são os limites de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 6, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 8, x, cubed, plus, 4, x, squared?

(Escolha A)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha B)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
(Escolha C)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha D)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

[Preciso de ajuda!]

Porque é que os limites de um polinómio são iguais aos limites do seu termo de maior grau?

Isto acontece porque o termo de maior grau tem maior efeito nos valores da função para valores elevados de x.

Vamos analisar a função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x para valores elevados e positivos de x.

No limite em que x tende para plus, infinity, sabemos que minus, 3, x, squared tende para minus, infinity e 7, x tende para plus, infinity.

Mas qual é que é o limite da soma? Vamos calcular minus, 3, x, squared e 7, x para alguns valores de x e fazer a soma.

x	minus, 3, x, squared	7, x	minus, 3, x, squared, plus, 7, x
1	minus, 3	7	4
10	minus, 300	70	minus, 230
100	minus, 30000	700	minus, 29300
1000	start color #ca337c, minus, 3000000, end color #ca337c	7000	start color #ca337c, minus, 2993000, end color #ca337c

Repara que à medida que x aumenta, o comportamento do polinómio assemelha-se ao de minus, 3, x, squared, point

Mas vamos supor que o termo x tem um peso um bocado maior. O que é que aconteceria se em vez de 7, x tivéssemos 999, x?

x	minus, 3, x, squared	999, x	minus, 3, x, squared, plus, 999, x
10	minus, 300	9990	9690
100	minus, 30000	99900	69900
1000	minus, 3000000	999000	minus, 2001000
10000	start color #ca337c, minus, 300000000, end color #ca337c	9990000	start color #ca337c, minus, 290010000, end color #ca337c

Novamente, vemos que para valores de x elevados, o polinómio comporta-se como minus, 3, x, squared. Apesar de ter sido necessário um valor de x mais elevado, a tendência ainda se verifica.

De facto, independentemente do coeficiente de x, para valores de x elevados o suficiente, minus, 3, x, squared irá dominar eventualmente!

Problemas desafio

9*) Qual das seguintes opções representa o gráfico de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 8, x, cubed, plus, 7, x, minus, 1?

[Preciso de ajuda!]

10*) Quais são os limites de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, minus, 3, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared?

(Escolha A)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha B)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
(Escolha C)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha D)
No limite em que x, right arrow, plus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, enquanto que no limite em que x, right arrow, minus, infinity temos g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.