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Limites

Aprende o que é o comportamento final de um polinómio e como podemos encontrá-lo a partir da equação do polinómio.

Nesta aula, vais aprender o que são os "limites no infinito" de um polinómio e como é que os podes analisar a partir de um gráfico ou a partir de uma equação polinomial.

O que são os "limites no infinito" de uma função polinomial?

Os limites no infinito de uma função

f

descrevem o comportamento do gráfico da função nas extremidades do eixo dos

x x

Por outras palavras, os limites no infinito de uma função descrevem as tendências do gráfico se olharmos para a extremidade direita do eixo dos

x x

(no limite em que

x

tende para

+ \infty

) e para a extremidade esquerda do eixo

x

(no limite em que

x

tende para

- \infty

Por exemplo, considera este gráfico, da função polinomial

f

. Nota que à medida que nos deslocamos para a direita no eixo dos

x x

, o gráfico de

f

vai para cima. Isto significa que, à medida que

x

aumenta,

f (x)

aumenta também.

Matematicamente, podemos escrever: no limite em que

x \to + \infty

, temos

f (x) \to + \infty

. (Que é o mesmo que, "o limite de

f (x)

quando

x

tende para mais infinito é mais infinito.")

No lado esquerdo do gráfico, à medida que nos deslocamos para a esquerda ao longo do eixo dos

x x

(imagina

x

aproximar-se de

- \infty

), o gráfico de

f

vai para baixo. Isto significa que à medida que

x

se torna mais e mais negativo,

f (x)

também se torna mais e mais negativa.

Matematicamente, escrevemos: no limite em que

x \to - \infty

, temos

f (x) \to - \infty

. (Que é o mesmo que dizer: "o limite de

f (x)

quando

x

tende para menos infinito é menos infinito.")

Testa o teu conhecimento

1) Este é o gráfico de

y = g (x)

Quais são os limites da função $g$ ‍ quando $x$ ‍ tende para mais infinito e menos infinito?

(Escolha A)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Calcular os limites no infinito

Também podemos determinar os limites no infinito de uma função polinomial através da sua expressão. Normalmente isto é útil para desenhar o gráfico da função, visto que conhecer os limites no infinito ajuda-nos a visualizar o gráfico nas "extremidades".

Para determinar os limites no infinito de um polinómio

f

a partir da sua equação, podemos pensar nos valores da função para valores positivos elevados e valores negativos elevados de

x

Mais concretamente, tentamos responder às duas questões seguintes:

Quando $x \to + \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ tende para que valor?
Quando $x \to - \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ tende para que valor?

Caso em que o polinómio é um monómio

As funções monomiais correspondem a polinómios da forma

y = a x^{n}

, onde

a

é um número real e

n

é um inteiro não negativo.

Vamos examinar algebricamente os limites no infinito de vários monómios e ver se podemos tirar algumas conclusões.

2) Considera o monómio

f (x) = x^{2}

Para valores elevados e positivos de $x$ ‍, qual das opções é que melhor descreve $f (x)$ ‍?

Para valores de $x$ ‍ negativos e elevados, qual das opções melhor descreve $f (x)$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

3) Considera o monómio

g (x) = - 3 x^{2}

Para valores elevados e positivos de $x$ ‍, qual das opções é que melhor descreve $g (x)$ ‍?

Para valores de $x$ ‍ negativos e elevados, qual das opções melhor descreve o valor de $g (x)$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

4) Considera o monómio

h (x) = x^{3}

Para valores elevados e positivos de $x$ ‍, qual das opções é que melhor descreve $h (x)$ ‍?

Para valores de $x$ ‍ negativos e elevados, qual das opções melhor descreve o valor de $h (x)$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

5) Considera o monómio

j (x) = - 2 x^{3}

Para valores elevados e positivos de $x$ ‍, qual das opções é que melhor descreve $j (x)$ ‍?

Para valores de $x$ ‍ negativos e elevados, qual das opções melhor descreve $j (x)$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

Conclusão

Repara como é que o grau do monómio

(n)

e o coeficiente

(a)

afetam os limites no infinito.

Quando

n

é par, os limites no infinito da função nas duas "extremidades" são iguais. O sinal do coeficiente do monómio determina se ambos se aproximam de

+ \infty

ou se ambos se aproximam de

- \infty

Quando

n

é ímpar, o comportamento da função em ambas as "extremidades" é oposto. O sinal do coeficiente do monómio determina qual dos limites é

+ \infty

e qual dos limites é

- \infty

O resumo dos resultados está disponível na tabela abaixo.

**Limites no infinito de Monómios: $f (x) = a x^{n}$ ‍**
$n$ ‍ é par e $a > 0$ ‍	$n$ ‍ é par e $a < 0$ ‍
No limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, e no limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.	No limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, e no limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍

$n$ ‍ é ímpar e $a > 0$ ‍	$n$ ‍ é ímpar e $a < 0$ ‍
No limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, e no limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.	No limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, e no limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍

Testa o teu conhecimento

6) Quais são os limites no infinito de $g (x) = 8 x^{3}$ ‍?

(Escolha A)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Limites no infinito de polinómios

Agora sabemos como encontrar os limites no infinito de monómios. Mas o que é que acontece no caso dos polinómios que não são monómios? Como é que podemos determinar os limites no infinito de funções como

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

Os limites no infinito de uma função polinomial são iguais aos limites do termo de maior grau.

Por isso, os limites de

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

são iguais aos limites do monómio

- 3 x^{2}

O grau de

- 3 x^{2}

(2)

e por isso é par. Além disso, o coeficiente

(- 3)

é negativo. Assim, temos: no limite em que

x \to - \infty

g (x) \to - \infty

, e no limite em que

x \to + \infty

g (x) \to - \infty

Testa o teu conhecimento

7) Quais são os limites no infinito de $f (x) = 8 x^{5} - 7 x^{2} + 10 x - 1$ ‍?

(Escolha A)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, e no limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, e no limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, e no limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, e no limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

8) Quais são os limites de $g (x) = - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2}$ ‍?

(Escolha A)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Porque é que os limites de um polinómio são iguais aos limites do seu termo de maior grau?

Isto acontece porque o termo de maior grau tem maior efeito nos valores da função para valores elevados de

x

Vamos analisar a função

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

para valores elevados e positivos de

x

No limite em que

x

tende para

+ \infty

, sabemos que

- 3 x^{2}

tende para

- \infty

7 x

tende para

+ \infty

Mas qual é que é o limite da soma? Vamos calcular

- 3 x^{2}

7 x

para alguns valores de

x

e fazer a soma.

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$7 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 7 x$ ‍
$1$ ‍	$- 3$ ‍	$7$ ‍	$4$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$70$ ‍	$- 230$ ‍
$100$ ‍	$- 30 000$ ‍	$700$ ‍	$- 29 300$ ‍
$1000$ ‍	$- 3 000 000$ ‍	$7000$ ‍	$- 2 993 000$ ‍

Repara que à medida que

x

aumenta, o comportamento do polinómio assemelha-se ao de

- 3 x^{2} .

Mas vamos supor que o termo

x

tem um peso um bocado maior. O que é que aconteceria se em vez de

7 x

tivéssemos

999 x

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$999 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 999 x$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$9 990$ ‍	$9 690$ ‍
$100$ ‍	$- 30 000$ ‍	$99 900$ ‍	$69 900$ ‍
$1000$ ‍	$- 3 000 000$ ‍	$999 000$ ‍	$- 2 001 000$ ‍
$10 000$ ‍	$- 300 000 000$ ‍	$9 990 000$ ‍	$- 290 010 000$ ‍

Novamente, vemos que para valores de

x

elevados, o polinómio comporta-se como

- 3 x^{2}

. Apesar de ter sido necessário um valor de

x

mais elevado, a tendência ainda se verifica.

De facto, independentemente do coeficiente de

x

, para valores de

x

elevados o suficiente,

- 3 x^{2}

irá dominar eventualmente!

Problemas desafio

9*) Qual das seguintes opções representa o gráfico de $h (x) = - 8 x^{3} + 7 x - 1$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

10*) Quais são os limites de $g (x) = (2 - 3 x) (x + 2)^{2}$ ‍?

(Escolha A)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.