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Conteúdo principal

Limites

Aprende o que é o comportamento final de um polinómio e como podemos encontrá-lo a partir da equação do polinómio.
Nesta aula, vais aprender o que são os "limites no infinito" de um polinómio e como é que os podes analisar a partir de um gráfico ou a partir de uma equação polinomial.

O que são os "limites no infinito" de uma função polinomial?

Os limites no infinito de uma função f descrevem o comportamento do gráfico da função nas extremidades do eixo dos xx.
Por outras palavras, os limites no infinito de uma função descrevem as tendências do gráfico se olharmos para a extremidade direita do eixo dos xx (no limite em que x tende para +) e para a extremidade esquerda do eixo x (no limite em que x tende para ).
Por exemplo, considera este gráfico, da função polinomial f. Nota que à medida que nos deslocamos para a direita no eixo dos xx, o gráfico de f vai para cima. Isto significa que, à medida que x aumenta, f(x) aumenta também.
Matematicamente, podemos escrever: no limite em que x+, temos f(x)+. (Que é o mesmo que, "o limite de f(x) quando x tende para mais infinito é mais infinito.")
No lado esquerdo do gráfico, à medida que nos deslocamos para a esquerda ao longo do eixo dos xx (imagina x aproximar-se de ), o gráfico de f vai para baixo. Isto significa que à medida que x se torna mais e mais negativo, f(x) também se torna mais e mais negativa.
Matematicamente, escrevemos: no limite em que x, temos f(x). (Que é o mesmo que dizer: "o limite de f(x) quando x tende para menos infinito é menos infinito.")

Testa o teu conhecimento

1) Este é o gráfico de y=g(x).
Quais são os limites da função g quando x tende para mais infinito e menos infinito?
Seleciona a opção correta.

Calcular os limites no infinito

Também podemos determinar os limites no infinito de uma função polinomial através da sua expressão. Normalmente isto é útil para desenhar o gráfico da função, visto que conhecer os limites no infinito ajuda-nos a visualizar o gráfico nas "extremidades".
Para determinar os limites no infinito de um polinómio f a partir da sua equação, podemos pensar nos valores da função para valores positivos elevados e valores negativos elevados de x.
Mais concretamente, tentamos responder às duas questões seguintes:
  • Quando x+, f(x) tende para que valor?
  • Quando x, f(x) tende para que valor?

Caso em que o polinómio é um monómio

As funções monomiais correspondem a polinómios da forma y=axn, onde a é um número real e n é um inteiro não negativo.
Vamos examinar algebricamente os limites no infinito de vários monómios e ver se podemos tirar algumas conclusões.
2) Considera o monómio f(x)=x2.
Para valores elevados e positivos de x, qual das opções é que melhor descreve f(x)?
Seleciona a opção correta.

Para valores de x negativos e elevados, qual das opções melhor descreve f(x)?
Seleciona a opção correta.

3) Considera o monómio g(x)=3x2.
Para valores elevados e positivos de x, qual das opções é que melhor descreve g(x)?
Seleciona a opção correta.

Para valores de x negativos e elevados, qual das opções melhor descreve o valor de g(x)?
Seleciona a opção correta.

4) Considera o monómio h(x)=x3.
Para valores elevados e positivos de x, qual das opções é que melhor descreve h(x)?
Seleciona a opção correta.

Para valores de x negativos e elevados, qual das opções melhor descreve o valor de h(x)?
Seleciona a opção correta.

5) Considera o monómio j(x)=2x3.
Para valores elevados e positivos de x, qual das opções é que melhor descreve j(x)?
Seleciona a opção correta.

Para valores de x negativos e elevados, qual das opções melhor descreve j(x)?
Seleciona a opção correta.

Conclusão

Repara como é que o grau do monómio (n) e o coeficiente (a) afetam os limites no infinito.
Quando n é par, os limites no infinito da função nas duas "extremidades" são iguais. O sinal do coeficiente do monómio determina se ambos se aproximam de + ou se ambos se aproximam de .
Quando n é ímpar, o comportamento da função em ambas as "extremidades" é oposto. O sinal do coeficiente do monómio determina qual dos limites é + e qual dos limites é .
O resumo dos resultados está disponível na tabela abaixo.
Limites no infinito de Monómios: f(x)=axn
n é par e a>0n é par e a<0
No limite em que x, f(x)+, e no limite em que x+, f(x)+.
No limite em que x, f(x), e no limite em que x+, f(x).
n é ímpar e a>0n é ímpar e a<0
No limite em que x, f(x), e no limite em que x+, f(x)+.
No limite em que x, f(x)+, e no limite em que x+, f(x).

Testa o teu conhecimento

6) Quais são os limites no infinito de g(x)=8x3?
Seleciona a opção correta.

Limites no infinito de polinómios

Agora sabemos como encontrar os limites no infinito de monómios. Mas o que é que acontece no caso dos polinómios que não são monómios? Como é que podemos determinar os limites no infinito de funções como g(x)=3x2+7x?
Os limites no infinito de uma função polinomial são iguais aos limites do termo de maior grau.
Por isso, os limites de g(x)=3x2+7x são iguais aos limites do monómio 3x2.
O grau de 3x2 é (2) e por isso é par. Além disso, o coeficiente (3) é negativo. Assim, temos: no limite em que x, g(x), e no limite em que x+, g(x).

Testa o teu conhecimento

7) Quais são os limites no infinito de f(x)=8x57x2+10x1?
Seleciona a opção correta.

8) Quais são os limites de g(x)=6x4+8x3+4x2?
Seleciona a opção correta.

Porque é que os limites de um polinómio são iguais aos limites do seu termo de maior grau?

Isto acontece porque o termo de maior grau tem maior efeito nos valores da função para valores elevados de x.
Vamos analisar a função g(x)=3x2+7x para valores elevados e positivos de x.
No limite em que x tende para +, sabemos que 3x2 tende para e 7x tende para +.
Mas qual é que é o limite da soma? Vamos calcular 3x2 e 7x para alguns valores de x e fazer a soma.
x3x27x3x2+7x
1374
1030070230
1003000070029300
1000300000070002993000
Repara que à medida que x aumenta, o comportamento do polinómio assemelha-se ao de 3x2.
Mas vamos supor que o termo x tem um peso um bocado maior. O que é que aconteceria se em vez de 7x tivéssemos 999x?
x3x2999x3x2+999x
1030099909690
100300009990069900
100030000009990002001000
100003000000009990000290010000
Novamente, vemos que para valores de x elevados, o polinómio comporta-se como 3x2. Apesar de ter sido necessário um valor de x mais elevado, a tendência ainda se verifica.
De facto, independentemente do coeficiente de x, para valores de x elevados o suficiente, 3x2 irá dominar eventualmente!

Problemas desafio

9*) Qual das seguintes opções representa o gráfico de h(x)=8x3+7x1?
Seleciona a opção correta.

10*) Quais são os limites de g(x)=(23x)(x+2)2?
Seleciona a opção correta.

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