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11.ºano
Assunto: 11.ºano > Tema 2
Lição 3: Limites no infinito- Introdução ao comportamento dos polinómios no infinito
- Limites
- Comportamento final das funções e os seus gráficos
- Limites
- Limites
- Limites
- Introdução aos limites no infinito
- Limites no infinito de funções racionais (exemplo)
- Limites no infinito de funções racionais
- Limites no infinito de funções racionais: radicais (potência ímpar)
- Limites no infinito de funções racionais: radicais (potência par)
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Limites
Aprende o que é o comportamento final de um polinómio e como podemos encontrá-lo a partir da equação do polinómio.
Nesta aula, vais aprender o que são os "limites no infinito" de um polinómio e como é que os podes analisar a partir de um gráfico ou a partir de uma equação polinomial.
O que são os "limites no infinito" de uma função polinomial?
Os limites no infinito de uma função descrevem o comportamento do gráfico da função nas extremidades do eixo dos .
Por outras palavras, os limites no infinito de uma função descrevem as tendências do gráfico se olharmos para a extremidade direita do eixo dos (no limite em que tende para ) e para a extremidade esquerda do eixo (no limite em que tende para ).
Por exemplo, considera este gráfico, da função polinomial . Nota que à medida que nos deslocamos para a direita no eixo dos , o gráfico de vai para cima. Isto significa que, à medida que aumenta, aumenta também.
Matematicamente, podemos escrever: no limite em que , temos . (Que é o mesmo que, "o limite de quando tende para mais infinito é mais infinito.")
No lado esquerdo do gráfico, à medida que nos deslocamos para a esquerda ao longo do eixo dos (imagina aproximar-se de ), o gráfico de vai para baixo. Isto significa que à medida que se torna mais e mais negativo, também se torna mais e mais negativa.
Matematicamente, escrevemos: no limite em que , temos . (Que é o mesmo que dizer: "o limite de quando tende para menos infinito é menos infinito.")
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Calcular os limites no infinito
Também podemos determinar os limites no infinito de uma função polinomial através da sua expressão. Normalmente isto é útil para desenhar o gráfico da função, visto que conhecer os limites no infinito ajuda-nos a visualizar o gráfico
nas "extremidades".
Para determinar os limites no infinito de um polinómio a partir da sua equação, podemos pensar nos valores da função para valores positivos elevados e valores negativos elevados de .
Mais concretamente, tentamos responder às duas questões seguintes:
- Quando
, tende para que valor? - Quando
, tende para que valor?
Caso em que o polinómio é um monómio
As funções monomiais correspondem a polinómios da forma , onde é um número real e é um inteiro não negativo.
Vamos examinar algebricamente os limites no infinito de vários monómios e ver se podemos tirar algumas conclusões.
2) Considera o monómio .
3) Considera o monómio .
4) Considera o monómio .
5) Considera o monómio .
Conclusão
Repara como é que o grau do monómio e o coeficiente afetam os limites no infinito.
Quando é par, os limites no infinito da função nas duas "extremidades" são iguais. O sinal do coeficiente do monómio determina se ambos se aproximam de ou se ambos se aproximam de .
Quando é ímpar, o comportamento da função em ambas as "extremidades" é oposto. O sinal do coeficiente do monómio determina qual dos limites é e qual dos limites é .
O resumo dos resultados está disponível na tabela abaixo.
No limite em que | No limite em que |
No limite em que | No limite em que |
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Limites no infinito de polinómios
Agora sabemos como encontrar os limites no infinito de monómios. Mas o que é que acontece no caso dos polinómios que não são monómios? Como é que podemos determinar os limites no infinito de funções como ?
Os limites no infinito de uma função polinomial são iguais aos limites do termo de maior grau.
Por isso, os limites de são iguais aos limites do monómio .
O grau de é e por isso é par. Além disso, o coeficiente é negativo. Assim, temos: no limite em que , , e no limite em que , .
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Porque é que os limites de um polinómio são iguais aos limites do seu termo de maior grau?
Isto acontece porque o termo de maior grau tem maior efeito nos valores da função para valores elevados de .
Vamos analisar a função para valores elevados e positivos de .
No limite em que tende para , sabemos que tende para e tende para .
Mas qual é que é o limite da soma? Vamos calcular e para alguns valores de e fazer a soma.
Repara que à medida que aumenta, o comportamento do polinómio assemelha-se ao de
Mas vamos supor que o termo tem um peso um bocado maior. O que é que aconteceria se em vez de tivéssemos ?
Novamente, vemos que para valores de elevados, o polinómio comporta-se como . Apesar de ter sido necessário um valor de mais elevado, a tendência ainda se verifica.
De facto, independentemente do coeficiente de , para valores de elevados o suficiente, irá dominar eventualmente!
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