If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se estiveres protegido por um filtro da Web, certifica-te de que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Posição do vídeo:0:00Duração total:5:16

Limites laterais versus limites bilaterais (mais exemplos)

Transcrição do vídeo

Temos então uma função f(x) desenhada aqui e temos também algumas considerações acerca do limite de f(x) quando x se aproxima de determinados valores e o que eu quero fazer é avaliar quais destas considerações são verdadeiras e quais são falsas. Vamos então olhar para esta primeira expressão: limite de f(x) quando x se aproxima de 1 vindo do lado positivo é igual a zero. Será que é verdadeiro ou falso? Vamos então olhar melhor. Estamos a dizer que quando x se aproxima de 1 do lado positivo (direita), ou seja valores maiores que 1. Então quando x se aproxima de 1 vindo do lado positivo qual é a f(x)? Ora, quando x é digamos 1,5 f(x) está lá em cima; ao x aproximar-se mais e mais de 1, f(x) fica exactamente em 1. Assim sendo, quando x se aproxima de 1 do lado positivo, pare que o limite de f parece que o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 do lado positivo não é zero. Parece que é 1 Então isto não é, isto não é verdade Isto apenas seria verdade se em vez de dizer "do lado positivo", disséssemos "do lado negativo": do lado negativo a função parece efectivamente ... ...o valor da função parece efectivamente aproximar-se de 0. Quando nos aproximamos de q do lado negativo, quando x está aqui, esta é f(x) (ou imagem de x) ...quando x está aqui, esta é f(x) ...quando x está aqui, esta é f(x) e vemos que o valor de f(x) parece ficar mais e mais perto de 0 Então isto apenas seria verdade se nos aproximássemos pelo lado negativo. Próxima questão: limite de f(x) quando x se aproxima de 0 pelo lado negativo é igual ao limite de f(x) quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo. Será verdade? Ora vejamos: a nossa função f(x) quando nos aproximamos de 0 pelo lado negativo - Estou a usar uma cor nova- quando nos aproximamos de 0 pelo lado negativo Então, aqui, este é o nosso valor de f(x) depois à medida que estamos mais perto, este é o nosso valor de f(x), quando ficamos mais perto ainda, este é o valor de f(x). Assim parece que pelo lado negativo se aproxima de 1 positivo, pelo lado positivo quando x é maior que zero: vamos tentar Então se dissermos que x é 1/2 , este é o nosso f(x) se x for digamos 1/4, este é o nosso f(x) Se x for ligeiramente superior a zero, este é o nosso f(x) Então parece também aproximar-se de f(x)...f(x) é igual a 1. Então parece que é verdade: Parecem ambos aproximar-se de um limite de 1 O limite aqui é 1, logo isto é absolutamente verdade Agora olhemos para esta expressão: o limite de f(x) quando x se aproxima de zero pelo lado negativo é igual a 1 Bem, já pensamos sobre isto O limite de f(x) quando x se aproxima pelo lado negativo... ...o limite de f(x) quandox se aproxima de zero pelo lado negativo, vemos que estamos a ficar mais e mais perto de 1, quando x fica mais e mais perto de zero f(x) fica mais e mais perto de 1 , pelo que isto também é verdade O limite de f(x) quando x se aproxima de 0 existe. Bom, existe de facto - Já verificámos que era igual a 1 Pelo que é verdade Agora, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe - será que é verdade? Bem, ja tínhamos visto que à medida que nos aproximamos de q pelo lado positivo o limite parece aproximar-se de 1 percebemos que quando x é 1,5 temos f(x) igual a 1, quando x é um pouco superior a 1, é 1 assim parece que estamos a ficar mais e mais próximos de 1 (Deixem-me anotar isto) O limite de f(x) quando x se aproxima de 1 pelo lado postivo é igual a 1 E agora qual é o limite... ..limite de f(x) quando x se aproxima de 1 pelo lado negativo? Bom, aqui, isto é o nosso f(x)... Aqui, este é o nosso f(x)... Parece que o nosso f(x) fica mais e mais perto de zero quando nos aproximamos de 1 vindos de valores inferiores a 1 Então aqui é igual a zero. Assim sendo se o limite do lado direito é um valor diferente do limite do lado esquerdo, então o limite não existe Assim isto não é verdade Agora e para terminar, o limite de f(x) quando x se aproxima de 1,5 é igual a 1 Precisamente aqui. Tudo o que tivemos a tratar até aqui, olhámos sempre para pontos de descontinuidade ou pontos onde a função não está exactamente definida mas aqui vejamos, quando x é igual a 1.5 talvez isso seja aqui Isto é f(1.5); aquilo é o ponto... Não, este é o valor f(1.5) Poderíamos dizer f de... Podemos ver que f(1.5) é igual a 1 Isto aqui é o ponto (1.5 , 1) e se nos aproximarmos pelo lado esquerdo, vindos de valores inferiores ao ponto é 1, o limite parece ser 1 e se nos aproximamos pelo lado direito o limite parece ser 1 Pelo que é uma coisa bastante óbvia O gráfico é continuo no ponto assim se substituirmos ou se olharmos para o gráfico o limite é o valor da função nesse ponto. Não precisamos de ter uma função indefinida para encontrarmos um limite Assim é efectivamente o caso que o limite de f(x) quando x se aproxima de 1.5 é igual a 1.