Simplificação de expressões racionais (avançado) (artigo)

Conceitos com que deves estar familiarizado para esta lição

Uma expressão racional é um quociente entre dois polinómios. Uma expressão racional é irredutível se estiver simplificada ao ponto de não haver fatores comuns entre o denominador e o numerador.

Se não estás familiarizado com isto, recomendamos que vejas a introdução à simplificação de expressões racionais.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, irás praticar a simplificação de expressões racionais um pouco mais complicadas. Vamos analisar dois exemplos, e depois poderás resolver alguns problemas!

Exemplo 1: Simplificar $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

Apesar de o numerador ser um monómio, ele também pode ser fatorizado.

$\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Ao fatorizar o denominador, concluímos que a expressão tem as restrições $x \neq 0$ ‍ e $x \neq 9$ ‍.

Passo 3: Eliminar fatores comuns

$\begin{aligned} \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} & = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} \\ = \frac{5 x^{2}}{x - 9} \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

$\frac{5 x^{2}}{x - 9}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

[Porque é que escrevemos x≠0?]

A reter

Neste exemplo, vamos ver que por vezes temos de fatorizar monómios para chegar a uma expressão irredutível.

Testa o teu conhecimento

1) Simplifica $\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Exemplo 2: Simplificar $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

Aqui, reparamos que o fator

3 - x

pode ser escrito como o produto de

- 1

por

x - 3

. Assim, conseguimos encontrar um fator comum de

x - 3

\begin{aligned} \frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (- 3 + x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} Comutatividade \end{aligned}

Passo 2: Registar as condições da expressão

Com o denominador fatorizado, encontramos as restrições

x \neq 3

x \neq - 1

Passo 3: Eliminar fatores comuns

\begin{aligned} \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 1)}{x + 1} \\ = \frac{1 - x}{x + 1} \end{aligned}

O último passo, em que efetuamos o produto de

- 1

com o outro monómio do numerador, não era necessário, mas é comum fazer-se.

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

\frac{1 - x}{x + 1}

para

x \neq 3

[Porque é que escrevemos x≠3?]

A reter

Os fatores

x - 3

3 - x

são simétricos, uma vez que

- 1 \cdot (x - 3) = 3 - x

Neste caso, os dois fatores foram eliminados mas apareceu um

- 1

. Por outras palavras, o quociente entre

x - 3

3 - x

foi substituído por

-1

O quociente entre expressões simétricas da forma

a - b

b - a

dá

- 1

no caso em que

a \neq b

Testa o teu conhecimento

2) Simplifica $\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

3) Simplifica $\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}}$ ‍.

para

x \neq

[Preciso de ajuda!]

Vamos resolver mais problemas

4) Simplifica $\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

5) Simplifica $\frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3}$ ‍.

para

x \neq

[Preciso de ajuda!]

6) Simplifica $\frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Simplificação de expressões racionais (avançado)

Conceitos com que deves estar familiarizado para esta lição

O que vais aprender nesta lição

Exemplo 1: Simplificar $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

A reter

Testa o teu conhecimento

Exemplo 2: Simplificar $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

A reter

Testa o teu conhecimento

Vamos resolver mais problemas

Queres participar na conversa?

11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Conceitos com que deves estar familiarizado para esta lição

O que vais aprender nesta lição

Exemplo 1: Simplificar 10x32x2−18x‍

A reter

Testa o teu conhecimento

Exemplo 2: Simplificar (3−x)(x−1)(x−3)(x+1)‍

A reter

Testa o teu conhecimento

Vamos resolver mais problemas

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Exemplo 1: Simplificar $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Exemplo 2: Simplificar $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍