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11.ºano
Assunto: 11.ºano > Tema 2
Lição 6: Funções racionais- Introdução à simplificação de expressões racionais
- Introdução às expressões racionais
- Introdução à simplificação de expressões racionais
- Simplificação de expressões racionais: fatores monomiais comuns
- Simplificação de expressões racionais: fatores monomiais comuns
- Simplificação de expressões racionais: fatores binominais comuns
- Simplificação de expressões racionais: fatores binominais comuns opostos
- Simplificação de expressões racionais (avançado)
- Equações com uma expressão racional
- Simplificação de expressões racionais: fatores binominais comuns
- Introdução às equações racionais
- Equações com uma expressão racional (avançado)
- Equação com duas expressões racionais (exemplo antigo)
- Equação com duas expressões racionais (exemplo antigo 2)
- Equação com duas expressões racionais (exemplo antigo 3)
- Inequações racionais: um lado é igual a zero
- Inequações racionais: ambos os lados são diferentes de zero
- Cálculo das inversas de funções racionais
- Encontrar as inversas das funções racionais
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Introdução à simplificação de expressões racionais
Aprende o que significa simplificar uma expressão racional e como isso é feito!
Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição
Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.
Por exemplo, o domínio da função tal que é o conjunto de todos os números reais exceto , ou seja, o conjunto de todos os valores tais que .
Se não estás familiarizado com isto, recomendamos que vejas a introdução às funções racionais.
Além disso, deves saber fatorizar polinómios para esta lição.
O que vais aprender nesta lição
Neste artigo, vais aprender a simplificar expressões racionais ao analisar alguns exemplos.
Introdução
Uma expressão racional é considerada irredutível (ou simplificada) se o numerador e o denominador não tiverem fatores em comum.
Podemos simplificar expressões racionais com um processo análogo ao usado para simplificar frações numéricas.
Por exemplo, podemos simplificar para , que é uma fração irredutível. Para fazer isto, eliminamos o máximo divisor comum do numerador e do denominador, que é .
Exemplo 1: Simplificar a expressão
Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador
Para perceber se o numerador e o denominador têm fatores em comum, uma boa prática é fatorizá-los.
Passo 2: Registar as condições da expressão
Um passo importante é ter em conta as restrições à variávelexistentes na expressão original. Estas têm de ser tidas em conta na expressão simplificada para que ela seja equivalente à original.
Como a divisão pornão está definida, concluímos que as restrições a são e .
Passo 3: Eliminar fatores comuns
Repara que o numerador e o denominador têm um fator comum. Este fator pode ser eliminado em ambos.
Passo 4: Resposta
Recorda que a expressão original estava definida para qualquertal que . Assim, a expressão simplificada deve possuir estas mesmas restrições.
No entanto, basta apenas explicitar a restrição. Não precisamos de dizer que , pois a expressão simplificada ainda contém essa informação no denominador.
Concluindo, a expressão simplificada é escrita da seguinte forma:
para
Uma nota sobre expressões equivalentes
Expressão original | Expressão simplificada | |
---|---|---|
Estas duas expressões são equivalentes. As funções definidas por elas possuem exatamente o mesmo domínio e o mesmo valor para qualquer objeto . A tabela abaixo ilustra isto para .
Expressão original | Expressão simplificada | ||
---|---|---|---|
Calcular para | |||
Nota | A fração foi simplificada ao retirar o MDC entre o numerador e o denominador, que é | Foi obtida diretamente uma fração irredutível, pois o numerador e o denominador já não tinham o fator comum |
Como podes ver, as duas expressões têm o mesmo valor para o mesmo valor de . Vamos agora ver a importância de especificar as restrições para as expressões simplificadas. Considera .
Expressão original | Expressão simplificada (sem restrição) | ||
---|---|---|---|
Calcular para |
A expressão original não está definida para . Dado que a expressão simplificada tem de dar o mesmo resultado para qualquer valor de , precisamos de especificar esta restrição para a expressão simplificada.
Alerta para possíveis confusões
Um erro bastante comum é cancelar no denominador e no numerador quando eles estão simplesmente a ser adicionados a outras parcelas. Repara no exemplo abaixo.
Cancelar o resulta numa expressão que não é equivalente! Como exemplo, vejamos como se comparam as duas expressões para .
Só podemos cancelar expressões se o numerador e o denominador puderem ser fatorizados!
Resumo do processo de simplificação
- Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador.
- Passo 2: Registar as condições da expressão.
- Passo 3: Eliminar fatores comuns.
- Passo 4: Especificar as restrições da expressão original que não saem diretamente da expressão simplificada.
Testa o teu conhecimento
Exemplo 2: Simplificar
Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador
Passo 2: Registar as condições da expressão
Como a divsão pornão está definida, temos de ter e .
Passo 3: Eliminar fatores comuns
Repara que o numerador e o denominador têm o fatorem comum. Portanto, podemos eliminá-lo para simplificar.
Passo 4: Resposta
A expressão simplificada é:
para
A expressão original requer que. Não é necessário escrever a restrição na expressão simplificada, uma vez que isso ainda está implícito no seu denominador.
Testa o teu conhecimento
O que se segue?
Podes avançar para o artigo avançado sobre simplificar expressões racionais, onde verás exemplos com casos mais complicados.
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