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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 6: Funções racionais
Matemática
11.ºano
Funções Reais de Variável Real
Funções racionais
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Introdução à simplificação de expressões racionais

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Aprende o que significa simplificar uma expressão racional e como isso é feito!

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.
Por exemplo, o domínio da função f tal que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction é o conjunto de todos os números reais exceto start text, negative, 1, end text, ou seja, o conjunto de todos os valores x tais que x, does not equal, minus, 1.
Se não estás familiarizado com isto, recomendamos que vejas a introdução às funções racionais.
Além disso, deves saber fatorizar polinómios para esta lição.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, vais aprender a simplificar expressões racionais ao analisar alguns exemplos.

Introdução

Uma expressão racional é considerada irredutível (ou simplificada) se o numerador e o denominador não tiverem fatores em comum.
Podemos simplificar expressões racionais com um processo análogo ao usado para simplificar frações numéricas.
Por exemplo, podemos simplificar start fraction, 6, divided by, 8, end fraction para start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, que é uma fração irredutível. Para fazer isto, eliminamos o máximo divisor comum do numerador e do denominador, que é 2.
68=2⋅32⋅4Fatorizar=2⋅32⋅4Eliminar o MDC=34Simplificar\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Fatorizar}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Eliminar o MDC}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{Simplificar}}} \end{aligned}

Exemplo 1: Simplificar a expressão start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador
Para perceber se o numerador e o denominador têm fatores em comum, uma boa prática é fatorizá-los.
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
Passo 2: Registar as condições da expressão
Um passo importante é ter em conta as restrições à variável x existentes na expressão original. Estas têm de ser tidas em conta na expressão simplificada para que ela seja equivalente à original.
Como a divisão por 0 não está definida, concluímos que as restrições a x são start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd e start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, x, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
Passo 3: Eliminar fatores comuns
Repara que o numerador e o denominador têm um fator comum x. Este fator pode ser eliminado em ambos.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
Passo 4: Resposta
Recorda que a expressão original estava definida para qualquer x tal que x, does not equal, 0, comma, minus, 5. Assim, a expressão simplificada deve possuir estas mesmas restrições.
No entanto, basta apenas explicitar a restrição x, does not equal, 0. Não precisamos de dizer que x, does not equal, minus, 5, pois a expressão simplificada ainda contém essa informação no denominador.
Concluindo, a expressão simplificada é escrita da seguinte forma:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 0

Uma nota sobre expressões equivalentes

Expressão original\quadExpressão simplificada
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction\quadstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 0
Estas duas expressões são equivalentes. As funções definidas por elas possuem exatamente o mesmo domínio e o mesmo valor para qualquer objeto x. A tabela abaixo ilustra isto para x, equals, 2.
Expressão original\quadExpressão simplificada
Calcular para start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3(\purpleC{2})}{(\purpleC{2})^2+5(\purpleC{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\cdot 5}{\purpleC{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
NotaA fração foi simplificada ao retirar o MDC entre o numerador e o denominador, que é start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.Foi obtida diretamente uma fração irredutível, pois o numerador e o denominador já não tinham o fator comum x left parenthesisneste caso, start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis.
Como podes ver, as duas expressões têm o mesmo valor para o mesmo valor de x. Vamos agora ver a importância de especificar as restrições para as expressões simplificadas. Considera start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff.
Expressão original\quadExpressão simplificada (sem restrição)
Calcular para start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=indefinido\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3(\purpleC{0})}{(\purpleC{0})^2+5(\purpleC{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{indefinido}\end{aligned}0+30+5=35undefined\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{undefined}}\end{aligned}
A expressão original não está definida para x, does not equal, 0. Dado que a expressão simplificada tem de dar o mesmo resultado para qualquer valor de x, precisamos de especificar esta restrição para a expressão simplificada.

Alerta para possíveis confusões

Um erro bastante comum é cancelar x no denominador e no numerador quando eles estão simplesmente a ser adicionados a outras parcelas. Repara no exemplo abaixo.
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Cancelar o x resulta numa expressão que não é equivalente! Como exemplo, vejamos como se comparam as duas expressões para start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff.
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Só podemos cancelar expressões se o numerador e o denominador puderem ser fatorizados!

Resumo do processo de simplificação

  • Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador.
  • Passo 2: Registar as condições da expressão.
  • Passo 3: Eliminar fatores comuns.
  • Passo 4: Especificar as restrições da expressão original que não saem diretamente da expressão simplificada.

Testa o teu conhecimento

1) Simplifica start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction.
Seleciona a opção correta.

2) Simplifica start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction.
para x, does not equal
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemplo 2: Simplificar start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Passo 2: Registar as condições da expressão
Como a divsão por 0 não está definida, temos de ter start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd e start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
Passo 3: Eliminar fatores comuns
Repara que o numerador e o denominador têm o fator start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995 em comum. Portanto, podemos eliminá-lo para simplificar.
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}\\ \\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
Passo 4: Resposta
A expressão simplificada é:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction para x, does not equal, minus, 3
A expressão original requer que x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3. Não é necessário escrever a restrição x, does not equal, minus, 2 na expressão simplificada, uma vez que isso ainda está implícito no seu denominador.

Testa o teu conhecimento

3) Simplifica start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction.
Seleciona a opção correta.

4) Simplifica start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction.
para x, does not equal
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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