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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 6: Funções racionais

Introdução à simplificação de expressões racionais

Aprende o que significa simplificar uma expressão racional e como isso é feito!

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.

Por exemplo, o domínio da função

f

tal que

f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}

é o conjunto de todos os números reais exceto $-1$ ‍, ou seja, o conjunto de todos os valores

x

tais que

x \neq - 1

Se não estás familiarizado com isto, recomendamos que vejas a introdução às funções racionais.

Além disso, deves saber fatorizar polinómios para esta lição.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, vais aprender a simplificar expressões racionais ao analisar alguns exemplos.

Introdução

Uma expressão racional é considerada irredutível (ou simplificada) se o numerador e o denominador não tiverem fatores em comum.

Podemos simplificar expressões racionais com um processo análogo ao usado para simplificar frações numéricas.

Por exemplo, podemos simplificar

\frac{6}{8}

para

\frac{3}{4}

, que é uma fração irredutível. Para fazer isto, eliminamos o máximo divisor comum do numerador e do denominador, que é

2

$\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Fatorizar \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Eliminar o MDC \\ = \frac{3}{4} & Simplificar \end{aligned}$ ‍

Exemplo 1: Simplificar a expressão $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

Para perceber se o numerador e o denominador têm fatores em comum, uma boa prática é fatorizá-los.

$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Um passo importante é ter em conta as restrições à variável $x$ ‍ existentes na expressão original. Estas têm de ser tidas em conta na expressão simplificada para que ela seja equivalente à original.

Como a divisão por $0$ ‍ não está definida, concluímos que as restrições a $x$ ‍ são $x \neq 0$ ‍ e $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Passo 3: Eliminar fatores comuns

Repara que o numerador e o denominador têm um fator comum $x$ ‍. Este fator pode ser eliminado em ambos.

$\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

Recorda que a expressão original estava definida para qualquer $x$ ‍ tal que $x \neq 0, - 5$ ‍. Assim, a expressão simplificada deve possuir estas mesmas restrições.

No entanto, basta apenas explicitar a restrição $x \neq 0$ ‍. Não precisamos de dizer que $x \neq - 5$ ‍, pois a expressão simplificada ainda contém essa informação no denominador.
[Podem explicar melhor?]

Concluindo, a expressão simplificada é escrita da seguinte forma:

$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

Uma nota sobre expressões equivalentes

Expressão original	‍	Expressão simplificada
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

Estas duas expressões são equivalentes. As funções definidas por elas possuem exatamente o mesmo domínio e o mesmo valor para qualquer objeto

x

. A tabela abaixo ilustra isto para

x = 2

	Expressão original	‍	Expressão simplificada
Calcular para $x = 2$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
Nota	A fração foi simplificada ao retirar o MDC entre o numerador e o denominador, que é $2$ ‍.		Foi obtida diretamente uma fração irredutível, pois o numerador e o denominador já não tinham o fator comum $x$ ‍ $($ ‍neste caso, $x = 2)$ ‍.

Como podes ver, as duas expressões têm o mesmo valor para o mesmo valor de

x

. Vamos agora ver a importância de especificar as restrições para as expressões simplificadas. Considera

x = 0

	Expressão original	‍	Expressão simplificada (sem restrição)
Calcular para $x = 0$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = indefinido \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

A expressão original não está definida para

x \neq 0

. Dado que a expressão simplificada tem de dar o mesmo resultado para qualquer valor de

x

, precisamos de especificar esta restrição para a expressão simplificada.

Alerta para possíveis confusões

Um erro bastante comum é cancelar

x

no denominador e no numerador quando eles estão simplesmente a ser adicionados a outras parcelas. Repara no exemplo abaixo.

$\frac{x + 3}{x + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Cancelar o

x

resulta numa expressão que não é equivalente! Como exemplo, vejamos como se comparam as duas expressões para

x = 2

$\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Só podemos cancelar expressões se o numerador e o denominador puderem ser fatorizados!

Resumo do processo de simplificação

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador.
Passo 2: Registar as condições da expressão.
Passo 3: Eliminar fatores comuns.
Passo 4: Especificar as restrições da expressão original que não saem diretamente da expressão simplificada.

Testa o teu conhecimento

1) Simplifica $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

2) Simplifica $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍.

para

x \neq

[Preciso de ajuda!]

Exemplo 2: Simplificar $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

[Mostrem-me a fatorização, por favor!]

Passo 2: Registar as condições da expressão

Como a divsão por $0$ ‍ não está definida, temos de ter $x \neq - 2$ ‍ e $x \neq - 3$ ‍.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Passo 3: Eliminar fatores comuns

Repara que o numerador e o denominador têm o fator $x + 3$ ‍ em comum. Portanto, podemos eliminá-lo para simplificar.

$\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

$\frac{x - 3}{x + 2}$ ‍ para $x \neq - 3$ ‍

A expressão original requer que $x \neq - 2, - 3$ ‍. Não é necessário escrever a restrição $x \neq - 2$ ‍ na expressão simplificada, uma vez que isso ainda está implícito no seu denominador.

Testa o teu conhecimento

3) Simplifica $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

4) Simplifica $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍.

para

x \neq

[Preciso de ajuda!]

O que se segue?

Podes avançar para o artigo avançado sobre simplificar expressões racionais, onde verás exemplos com casos mais complicados.

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Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

O que vais aprender nesta lição

Introdução

Exemplo 1: Simplificar a expressão x2+3xx2+5x‍

Uma nota sobre expressões equivalentes

Alerta para possíveis confusões

Resumo do processo de simplificação

Testa o teu conhecimento

Exemplo 2: Simplificar x2−9x2+5x+6‍

Testa o teu conhecimento

O que se segue?

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Exemplo 1: Simplificar a expressão $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Exemplo 2: Simplificar $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍