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Conteúdo principal

Introdução à simplificação de expressões racionais

Aprende o que significa simplificar uma expressão racional e como isso é feito!

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.
Por exemplo, o domínio da função f tal que f(x)=x+2x+1 é o conjunto de todos os números reais exceto -1, ou seja, o conjunto de todos os valores x tais que x1.
Se não estás familiarizado com isto, recomendamos que vejas a introdução às funções racionais.
Além disso, deves saber fatorizar polinómios para esta lição.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, vais aprender a simplificar expressões racionais ao analisar alguns exemplos.

Introdução

Uma expressão racional é considerada irredutível (ou simplificada) se o numerador e o denominador não tiverem fatores em comum.
Podemos simplificar expressões racionais com um processo análogo ao usado para simplificar frações numéricas.
Por exemplo, podemos simplificar 68 para 34, que é uma fração irredutível. Para fazer isto, eliminamos o máximo divisor comum do numerador e do denominador, que é 2.
68=2324Fatorizar=2324Eliminar o MDC=34Simplificar

Exemplo 1: Simplificar a expressão x2+3xx2+5x

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador
Para perceber se o numerador e o denominador têm fatores em comum, uma boa prática é fatorizá-los.
x2+3xx2+5x=x(x+3)x(x+5)
Passo 2: Registar as condições da expressão
Um passo importante é ter em conta as restrições à variável x existentes na expressão original. Estas têm de ser tidas em conta na expressão simplificada para que ela seja equivalente à original.
Como a divisão por 0 não está definida, concluímos que as restrições a x são x0 e x5.
x(x+3)x(x+5)
Passo 3: Eliminar fatores comuns
Repara que o numerador e o denominador têm um fator comum x. Este fator pode ser eliminado em ambos.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5
Passo 4: Resposta
Recorda que a expressão original estava definida para qualquer x tal que x0,5. Assim, a expressão simplificada deve possuir estas mesmas restrições.
No entanto, basta apenas explicitar a restrição x0. Não precisamos de dizer que x5, pois a expressão simplificada ainda contém essa informação no denominador.
Concluindo, a expressão simplificada é escrita da seguinte forma:
x+3x+5 para x0

Uma nota sobre expressões equivalentes

Expressão originalExpressão simplificada
x2+3xx2+5xx+3x+5 para x0
Estas duas expressões são equivalentes. As funções definidas por elas possuem exatamente o mesmo domínio e o mesmo valor para qualquer objeto x. A tabela abaixo ilustra isto para x=2.
Expressão originalExpressão simplificada
Calcular para x=2(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2527=2527=572+32+5=57=57=57=57
NotaA fração foi simplificada ao retirar o MDC entre o numerador e o denominador, que é 2.Foi obtida diretamente uma fração irredutível, pois o numerador e o denominador já não tinham o fator comum x (neste caso, x=2).
Como podes ver, as duas expressões têm o mesmo valor para o mesmo valor de x. Vamos agora ver a importância de especificar as restrições para as expressões simplificadas. Considera x=0.
Expressão originalExpressão simplificada (sem restrição)
Calcular para x=0(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=indefinido0+30+5=35undefined
A expressão original não está definida para x0. Dado que a expressão simplificada tem de dar o mesmo resultado para qualquer valor de x, precisamos de especificar esta restrição para a expressão simplificada.

Alerta para possíveis confusões

Um erro bastante comum é cancelar x no denominador e no numerador quando eles estão simplesmente a ser adicionados a outras parcelas. Repara no exemplo abaixo.
x+3x+5    35
Cancelar o x resulta numa expressão que não é equivalente! Como exemplo, vejamos como se comparam as duas expressões para x=2.
2+32+5   35
Só podemos cancelar expressões se o numerador e o denominador puderem ser fatorizados!

Resumo do processo de simplificação

  • Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador.
  • Passo 2: Registar as condições da expressão.
  • Passo 3: Eliminar fatores comuns.
  • Passo 4: Especificar as restrições da expressão original que não saem diretamente da expressão simplificada.

Testa o teu conhecimento

1) Simplifica 6x+202x+10.
Seleciona a opção correta.

2) Simplifica x33x24x25x.
para x
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Exemplo 2: Simplificar x29x2+5x+6

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador
x29x2+5x+6=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
Passo 2: Registar as condições da expressão
Como a divsão por 0 não está definida, temos de ter x2 e x3.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
Passo 3: Eliminar fatores comuns
Repara que o numerador e o denominador têm o fator x+3 em comum. Portanto, podemos eliminá-lo para simplificar.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=x3x+2
Passo 4: Resposta
A expressão simplificada é:
x3x+2 para x3
A expressão original requer que x2,3. Não é necessário escrever a restrição x2 na expressão simplificada, uma vez que isso ainda está implícito no seu denominador.

Testa o teu conhecimento

3) Simplifica x23x+2x21.
Seleciona a opção correta.

4) Simplifica x22x15x2+x6.
para x
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

O que se segue?

Podes avançar para o artigo avançado sobre simplificar expressões racionais, onde verás exemplos com casos mais complicados.

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