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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 1

Lição 2: Medidas de dispersão
Matemática
11.ºano
Estatística
Medidas de dispersão
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Revisão sobre desvio-padrão da amostra e da população

Google Classroom

O desvio-padrão da amostra e da população

O desvio-padrão mede a dispersão de uma distribuição de dados em torno da média dos dados.
A fórmula que utilizamos para calcular o desvio-padrão não é a mesma para dados são relativos à população ou para dados relativos a uma amostra (que representa apenas uma parte de uma população).
  • Se os dados estão a ser considerados como população, dividimos pelo número de pontos de dados, N.
  • Se os dados forem uma amostra de n elementos de uma população, dividimos por n, minus, 1.
Desvio-padrão da população:
sigma, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Desvio-padrão da amostra:
s, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root
Os passos em cada fórmula são todos iguais, exceto a última em que dividimos por n, minus, 1, se estivermos a lidar com dados amostrais.
Vamos analisar cada fórmula, passo a passo, nos exemplos seguintes.
A razão pela qual dividimos por n, minus, 1 é um conceito muito complexo. Se quiseres aprender mais sobre isto vê este vídeo.

Desvio-padrão da população

Aqui está a fórmula novamente para o desvio-padrão populacional:
sigma, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Vê aqui como calcular o desvio-padrão da população:
Passo 1: Calcula a média dos dados — que é mu na fórmula.
Passo 2: Subtrai a média a cada dado observado. Essas diferenças são chamadas de desvios. Os dados abaixo da média terão desvios negativos, e os dados acima da média terão desvios positivos.
Passo 3: Calcula o quadrado de cada desvio para torná-los todos positivos.
Passo 4: Adiciona todos os quadrados dos desvios.
Passo 5: Divide a soma pelo número de pontos de dados da população. Este resultado é chamado de variância.
Passo 6: Calcula a raiz quadrada da variância para obter o desvio-padrão.

Exemplo: Desvio-padrão da população

Quatro amigos estavam a comparar as suas pontuações de um trabalho de casa feito recentemente.
Calcula o desvio-padrão das suas classificações:
6, 2, 3, 1
Passo 1: Determinar a média.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, 3
A média é 3 pontos.
Passo 2: Subtrair a média a cada dado.
Pontuação: x, start subscript, i, end subscriptDesvio: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis
66, minus, 3, equals, 3
22, minus, 3, equals, minus, 1
33, minus, 3, equals, 0
11, minus, 3, equals, minus, 2
Passo 3: Calcular o quadrado de cada desvio.
Pontuação: x, start subscript, i, end subscriptDesvio: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesisDesvio ao quadrado: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared
66, minus, 3, equals, 3left parenthesis, 3, right parenthesis, squared, equals, 9
22, minus, 3, equals, minus, 1left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 1
33, minus, 3, equals, 0left parenthesis, 0, right parenthesis, squared, equals, 0
11, minus, 3, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
Passo 4: Adicionar todos os quadrados dos desvios.
9, plus, 1, plus, 0, plus, 4, equals, 14
Passo 5: Dividir a soma pelo número de notas atribuídas.
start fraction, 14, divided by, 4, end fraction, equals, 3, comma, 5
Passo 6: Calcular a raiz quadrada do resultado do Passo 5.
square root of, 3, comma, 5, end square root, approximately equals, 1, comma, 87
O desvio-padrão é, aproximadamente, 2, comma, 28.
Queres aprender mais sobre o desvio-padrão de uma população? Vê este vídeo.
Queres praticar mais problemas como este? Faz este exercício sobre o desvio-padrão da população.

Desvio-padrão da amostra

Aqui está novamente a fórmula para o desvio-padrão da amostra:
s, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root
Vê aqui como calcular o desvio-padrão da amostra:
Passo 1: Calcula a média dos dados — que é x, with, \bar, on top na fórmula.
Passo 2: Subtrai a média a cada dado observado. Essas diferenças são chamadas de desvios. Os dados abaixo da média terão desvios negativos, e os dados acima da média terão desvios positivos.
Passo 3: Calcula o quadrado de cada desvio para torná-los todos positivos.
Passo 4: Adiciona todos os quadrados dos desvios.
Passo 5: Divide a soma por n, minus, 1. O resultado é chamado de variância.
Passo 6: Calcula a raiz quadrada da variância para obter o desvio-padrão.

Exemplo: Desvio-padrão da amostra

Uma amostra de 4 alunos foi questionada sobre o número de lápis que possuem.
Calcula o desvio-padrão amostral das suas respostas:
2, 2, 5, 7
Passo 1: Determinar a média.
x, with, \bar, on top, equals, start fraction, 2, plus, 2, plus, 5, plus, 7, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 16, divided by, 4, end fraction, equals, 4
A média da amostra é 4 lápis.
Passo 2: Subtrair a média a cada dado.
Lápis: x, start subscript, i, end subscriptDesvio: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis
22, minus, 4, equals, minus, 2
22, minus, 4, equals, minus, 2
55, minus, 4, equals, 1
77, minus, 4, equals, 3
Passo 3: Calcular o quadrado de cada desvio.
Lápis: x, start subscript, i, end subscriptDesvio: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesisDesvio ao quadrado: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared
22, minus, 4, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
22, minus, 4, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
55, minus, 4, equals, 1left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, equals, 1
77, minus, 4, equals, 3left parenthesis, 3, right parenthesis, squared, equals, 9
Passo 4: Adicionar todos os quadrados dos desvios.
4, plus, 4, plus, 1, plus, 9, equals, 18
Passo 5: Dividir a soma pelo número de elementos do conjunto de dados menos um.
start fraction, 18, divided by, 4, minus, 1, end fraction, equals, start fraction, 18, divided by, 3, end fraction, equals, 6
Passo 6: Calcular a raiz quadrada do resultado do Passo 5.
square root of, 6, end square root, approximately equals, 2, comma, 45
O desvio-padrão amostral é de aproximadamente 2, comma, 45.
Queres aprender mais sobre o desvio-padrão de uma amostra? Vê este vídeo.
Queres praticar mais problemas como este? Vê este exercício sobre desvio-padrão amostral e populacional.

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