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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 1

Lição 2: Medidas de dispersão
Matemática
11.ºano
Estatística
Medidas de dispersão
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Cálculo passo a passo do desvio-padrão

Google Classroom

Introdução

Neste artigo, vamos aprender a calcular manualmente o desvio-padrão.
Na verdade, no contexto de trabalho, um estatístico não calcularia manualmente o desvio-padrão. Para grandes conjuntos de dados, os cálculos tornam-se complexos, e por isso o risco de ocorrerem erros aumenta. Além disso, existem programas de computador que ajudam os estatísticos a analisar dados de maneira mais rápida e eficaz.
Deves estar, portanto, a questionar a utilidade deste artigo. Para quê aprender um processo manual que os estatísticos fazem de forma automática recorrendo a um computador? Na verdade, aprender os cálculos envolvidos vai ajudar-te a perceber o que é realmente o desvio-padrão e para que serve. Assim, quando olhares para o valor de um desvio-padrão, saberás exatamente de onde veio esse número.

Como calcular o desvio padrão

A fórmula do desvio-padrão de uma população é
σ, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, end fraction, end square root
onde sum é o símbolo do somatório, x, start subscript, i, end subscript é cada elemento da população, mu é a média da população e n é o número de elementos da população.
A fórmula pode parecer confusa, mas vamos analisá-la por partes para perceberes melhor. Nas próximas secções, vamos ver um exemplo passo-a-passo. Aqui estão os passos que vamos seguir:
Passo 1: Determinar a média.
Passo 2: Para cada elemento da população, determinar a sua distância à média e elevá-la ao quadrado.
Passo 3: Somar todos os valores obtidos no passo anterior.
Passo 4: Dividir pelo número de elementos.
Passo 5: Aplicar a raíz quadrada.

Nota importante

A fórmula que vimos serve para determinar o desvio-padrão de uma população. Se estivermos a lidar com uma amostra, usamos uma fórmula corrigida (que podes ver em baixo), onde dividimos por n, minus, 1 em vez de n. No entanto, o objetivo deste artigo é apenas perceber o processo para calcular o desvio-padrão, que é semelhante em ambos os casos.
start text, s, end text, start subscript, start text, a, m, o, s, t, r, a, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

Exemplo de cálculo do desvio-padrão

Primeiro, precisamos de uma população para estudar. Vamos escolher uma população de dimensões pequenas. Como esta:
6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

Passo 1 - Calcular start color #e07d10, mu, end color #e07d10 em square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, n, end fraction, end square root

Neste passo, queremos encontrar a média dos dados, representada pela variável mu.
Preenche o espaço em branco.
mu, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Passo 2 - Calcular start color #e07d10, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 em square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, n, end fraction, end square root

Agora, queremos determinar a distância de cada elemento dos dados à média (ou seja, os desvios) e elevá-las ao quadrado.
Por exemplo, o primeiro elemento dos dados é 6 e a média é 3, portanto a distância é 3. O quadrado deste desvio é 9.
Completa a tabela abaixo.
Elemento x, start subscript, i, end subscriptQuadrado da distância à média open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared
69
2
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
3
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
1
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Passo 3 - Calcular start color #e07d10, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 em square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, n, end fraction, end square root

O símbolo sum representa um somatório, portanto é neste passo que fazemos a soma dos quatro valores encontrados no Passo 2.
Preenche o espaço em branco.
sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Passo 4: Calcular start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, end fraction, end color #e07d10 em square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, end fraction, end color #e07d10, end square root

Neste passo, dividimos o resultado do Passo 3 por n, que é a dimensão da população.
Preenche o espaço em branco.
start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Passo 5: Determinar o desvio-padrão square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, end fraction, end square root

Estamos quase a acabar! Basta fazer a raíz quadrada do resultado do Passo 4.
Preenche o espaço em branco.
Arredonda o resultado às centésimas.
start text, σ, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end square root, approximately equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Boa, conseguimos! Calculámos o desvio-padrão de uma população.

Resumo dos passos

Decompusemos a fórmula em cinco passos:
Passo 1: Determinar a média mu.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd
Passo 2: Calcular o quadrado da distância de cada elemento da população à média, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared.
x, start subscript, i, end subscriptopen vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared
6open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4
Passos 3, 4 e 5:
σ=∑∣x−μ∣2N=9+1+0+44=144        Fazer a soma dos quadrados das dista˜ncias aˋ meˊdia (Passo 3).=3,5        Dividir pela dimensa˜o da populaça˜o (Passo 4).≈1,87        Aplicar a raıˊz quadrada (Passo 5).\begin{aligned} \text{σ} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text{Fazer a soma dos quadrados das distãncias à média (Passo 3).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3{,}5}} ~~~~~~~~\small \text{Dividir pela dimensão da população (Passo 4).} \\\\\\\\ &\approx 1{,}87 ~~~~~~~~\small \text{Aplicar a raíz quadrada (Passo 5).} \end{aligned}

Experimenta

Recorda a fórmula:
start text, σ, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, end fraction, end square root
Considera esta população:
1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6
Determina o desvio-padrão da população.
Arredonda o resultado às centésimas.
start text, S, D, end text, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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