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Encontrar as equações da reta tangente usando a definição formal de limite

Três exemplos de como encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto específico.
Podemos calcular o declive da reta tangente ao gráfico de f num ponto de abcissa c usando a definição de derivada de f em x, equals, c (desde que o limite exista):
limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, c, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, c, right parenthesis, divided by, h, end fraction
Assim que tivermos o declive da reta, podemos encontrar a sua equação. De seguida vamos apresentar três exemplos.
A função f está representada graficamente. O eixo x positivo inclui o valor c. O gráfico é uma curva. A curva começa no segundo quadrante, move-se para baixo para um ponto no primeiro quadrante, move-se para cima através de um ponto em x = c e termina no primeiro quadrante. Uma reta tangente começa no quarto quadrante, interseta a curva no ponto em x = c, e termina no primeiro quadrante.

Exemplo 1: Escrever a equação da reta tangente ao gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, em x, equals, 3

Passo 1
Qual é a expressão da derivada de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared em x, equals, 3?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Passo 2
Podemos concluir que:
f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis dá-nos o declive da reta tangente. Para encontrar a equação completa, precisamos de um ponto que faça parte da reta.
Podemos utilizar as coordenadas do ponto de interseção entre a reta tangente e o gráfico.
Passo 3
Qual é o ponto que devemos usar para a equação da reta tangente?
left parenthesis
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Passo 4
Escreve a equação da reta tangente ao gráfico f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared em x, equals, 3.
y, equals

E estamos prontos! Usando a definição de derivada, conseguimos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared em x, equals, 3.
A função f está representada graficamente. O eixo x positivo vai de menos 12 a 12. O gráfico é uma curva em forma de U. A curva começa no quadrante 2, passa no ponto (0, 0) e depois no ponto (3, 9), e termina no quadrante 1. Uma reta tangente ao gráfico no ponto (3,9) é crescente, começa no quadrante 4, toca a curva no ponto e termina no quadrante 1.

Exemplo 2: Escrever a equação da reta tangente no gráfico g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed em x, equals, minus, 1

Passo 1
g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, question mark
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Exemplo 3: Escrever a equação da reta tangente para f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 3 em x, equals, minus, 5

Vamos resolver este exemplo sem apresentar todos os passos.
Qual é a equação da reta tangente?