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10.ºano

Assunto: 10.ºano > Tema 3

Lição 2: Equação cartesiana reduzida da circunferência

Revisões sobre as equações da circunferência

Faz uma revisão sobre as diferentes equações da circunferência e resolve alguns exercícios.

O que é a equação cartesiana reduzida de uma circunferência?

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

Esta é a equação cartesiana reduzida da circunferência de centro em

(h, k)

e raio

r

As circunferências também podem ser dadas na forma expandida, que é simplesmente o resultado de expandir os quadrados binomiais e combinar os termos iguais.

Por exemplo, a equação da circunferência de centro em

(1, 2)

com raio

3

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}

. A forma expandida desta equação é:

\begin{aligned} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} & = 3^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) & = 9 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 & = 0 \end{aligned}

Queres aprender mais sobre a equação de uma circunferência? Vê este vídeo.

Exercício 1: Usar a equação cartesiana reduzida da circunferência

Problema 1,1

(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 48

Qual é o centro da circunferência?

(

,

)

Qual é o seu raio?
Se necessário, arredonda a resposta a duas casas decimais.

unidades

Queres tentar resolver mais problemas como este? Vê este exercício e este exercício.

Exercício 2: Escrever as equações da circunferência

Problema 2,1

Uma circunferência de raio

\sqrt{13}

tem o seu centro em

(- 9, 3; 4, 1)

Escreve a equação desta circunferência.

Queres resolver mais exercícios como este? Vê este exercício.

Exercício 3: Usar a equação da circunferência na forma expandida

Para interpretar a equação da circunferência na forma expandida, devemos rescrevê-la na forma reduzida usando o método de "completar os quadrados."

Considera, por exemplo, o processo de rescrever a equação na forma expandida

x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 = 0

na forma reduzida:

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x) + (y^{2} + 14 y) & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x + 81) + (y^{2} + 14 y + 49) & = - 105 + 81 + 49 \\ (x + 9)^{2} + (y + 7)^{2} & = 25 \\ (x - (- 9))^{2} + (y - (- 7))^{2} & = 5^{2} \end{aligned}

Agora podemos dizer que o centro da circunferência é

(- 9, - 7)

e o seu raio é

5

Problema 3,1

x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y + 53 = 0

Qual é o centro desta circunferência?

(

,

)

Qual é o centro desta circunferência?

unidades

Queres resolver mais exercícios como este? Vê este exercício e este exercício.

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