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10.ºano

Assunto: 10.ºano > Tema 2

Lição 3: Operações com funções

Multiplicação e divisão de funções

Vê como podemos multiplicar ou dividir duas funções para criar uma nova função.

Da mesma forma que podemos multiplicar e dividir números, também podemos multiplicar e dividir funções. Por exemplo, a partir das funções

f

g

podemos obter duas novas funções:

f \times g

\frac{f}{g}

Multiplicação de funções

Exemplo

Vamos observar um exemplo para ver como funciona na prática.

Dado que

f (x) = 2 x - 3

g (x) = x + 1

, encontra

(f \times g) (x)

Solução

A parte mais difícil de simplificar funções é entender a notação. O que significa

(f \times g) (x)

Pois bem,

(f \times g) (x)

corresponde simplesmente ao produto de

f (x)

por

g (x)

. Matematicamente, isto significa que

(f \times g) (x) = f (x) \times g (x)

Assim sendo, torna-se simples:

\begin{aligned} (f \times g) (x) & = f (x) \times g (x) & Define. \\ = (2 x - 3) \times (x + 1) & Substitui. \\ = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 & Distribui. \\ = 2 x^{2} - x - 3 & Combina como termos. \end{aligned}

Nota: simplificamos o resultado para obter um polinómio reduzido

Vamos praticar!

Problema 1

\begin{aligned} c (y) = 3 y - 4 \\ d (y) = 3 - 2 y \end{aligned}

Encontrar $(c \times d) (y)$ ‍.

Problema 2

\begin{aligned} m (x) = x^{2} - 3 x \\ n (x) = x - 5 \end{aligned}

Avaliar $(m \times n) (- 1)$ ‍.

Dividir duas funções

A divisão de duas funções funciona de forma semelhante. Aqui está um exemplo.

Exemplo

h (n) = 2 n - 1

and

j (n) = n + 3

Qual é a expressão de

(\frac{j}{h}) (n)

Solução

Por definição,

(\frac{j}{h}) (n) = \frac{j (n)}{h (n)}

Então:

\begin{aligned} (\frac{j}{h}) (n) & = \frac{j (n)}{h (n)} & Define. \\ = \frac{n + 3}{2 n - 1} & Substitui. \end{aligned}

Duas notas importantes sobre esta função:

Esta expressão não pode ser simplificada.
Se $n = \frac{1}{2}$ ‍ então $2 n - 1 = 0$ ‍ pelo que o denominador é igual a $0$ ‍, assim a função $j / h$ ‍ não está definida para $n = \frac{1}{2}$ ‍.

Vamos praticar!

Problema 3

\begin{aligned} g (t) = t^{2} - 4 \\ h (t) = t + 8 \end{aligned}

Encontrar $(\frac{g}{h}) (t)$ ‍.

Problema 4

\begin{aligned} p (r) = 5 r - 2 \\ q (r) = r + 2 \end{aligned}

Avaliar $(\frac{p}{q}) (4)$ ‍.

Problema 5

\begin{aligned} f (x) = x + 4 \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}

Para que valor de $x$ ‍ a função $(\frac{f}{g}) (x)$ ‍ não está definida?

Uma aplicação

A distância e o tempo que a Júlia corre todos os dias dependem do número de horas,

h

, que ela trabalha. A distância,

D

, em quilómetros e o tempo,

T

, em minutos, que ela corre são dadas pelas funções

D (h) = - 0, 5 h + 8, 5

T (h) = - 6 h + 90

, respectivamente.

Considera que a função

S

representa a velocidade média que a Júlia corre num dia em que ela trabalha

h

horas.

Problema 6

Qual das seguintes opções define corretamente a função $S$ ‍?

Desafio

Os gráficos de

y = f (x)

y = g (x)

estão representados no referencial.

Qual é o gráfico de $y = (f \times g) (x)$ ‍?

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