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Adição e subtração de funções

Vê como podemos somar ou subtrair duas funções para criar uma nova função.
Assim como podemos adicionar e subtrair números, podemos também adicionar e subtrair funções. Por exemplo, a partir das funções f e g podemos obter duas novas funções: f+g e fg.

Adicionar duas funções

Exemplo

Vamos observar um exemplo para ver como funciona.
Considerando que f(x)=x+1 e g(x)=x22x+5, calcula (f+g)(x).

Solução

A parte mais difícil de combinar funções é entender a notação matemática. O que significa (f+g)(x)?
Bem, (f+g)(x) corresponde simplesmente à soma de f(x) com g(x). Isto significa que (f+g)(x)=f(x)+g(x).
Assim sendo, torna-se simples:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             =(x+1)+(x22x+5)        Substituir por f(x) e f(g).=x+1+x22x+5                Remover os parênteses.=x2x+6                                Combinar os termos de igual grau.

Também podemos ver graficamente:

As imagens seguintes mostram os gráficos das funções y=f(x), y=g(x) e y=(f+g)(x).
No primeiro gráfico podemos observar que f(2)=3 e g(2)=5. No segundo gráfico observamos que (f+g)(2)=8.
Então f(2)+g(2)=(f+g)(2) visto que 3+5=8.
Agora experimenta. Tenta provar que f(1)+g(1)=(f+g)(1).
Calcula cada expressão.
f(1)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
g(1)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
(f+g)(1)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Vamos resolver alguns problemas.

Para os problemas 1 e 2, considera que a(x)=3x25x+2 e b(x)=x2+8x10.

Problema 1

Encontrar (a+b)(x).

Problema 2

Avaliar (a+b)(1).
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Subtrair duas funções

A subtração de funções funciona de forma semelhante à da adição, tal como se pode observar no exemplo seguinte:

Exemplo

p(t)=2t1 e q(t)=t24t1.
Vamos encontrar (qp)(t).

Solução

Novamente, a parte mais complicada aqui é entender a notação matemática. Contudo, depois de teres entendido o exemplo da adição, (qp)(t) significa exatamente o que seria de esperar.
Por definição, (qp)(t)=q(t)p(t). Podemos agora resolver o problema.
=(qp)(t)=q(t)p(t)=(t24t1)(2t1)Substituir as funções q(t) e p(t).=t24t12t+1Distribuir o sinal negativo.=t26tCombinar os termos de igual grau.
Então (qp)(t)=t26t.

Vamos resolver alguns problemas.

Problema 3

j(n)=3n3n2+8
k(n)=8n2+3n5
Encontrar (jk)(n).

Problema 4

g(x)=4x27x+2
h(x)=2x5
Avalie (hg)(3).
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Uma aplicação

Uma universidade constata que o número de homens, M, e o número de mulheres, W, que completaram as licenciaturas t anos depois de 1980 pode ser modelado pelas funções M(t)=526t e W(t)=474+2t, respetivamente.
Seja N é o número total de estudantes que completaram licenciaturas nessa universidade desde 1980.
Escreve uma expressão para N(t).
N(t)=

Problema desafio

Os gráficos de y=f(x) e y=g(x) estão representados no referencial.
Qual é o gráfico de y=(f+g)(x)?
Seleciona a opção correta.

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