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Assunto: 10.ºano > Tema 2

Lição 6: Função inversa

Verificar as funções inversas através da composição

Aprender a verificar se duas funções são inversas, compondo-as. Por exemplo, f(x)=5x-7 e g(x)=x/5+7 são funções inversas?

Este artigo é sobre funções compostas. Se precisas de uma revisão sobre este assunto, recomendamos que vás aqui antes de ler este artigo.

Duas funções

f

g

são inversas é equivalente a dizer que: qualquer que seja

a

, se a imagem de

a

pela função

f

for

b

, a imagem de

b

pela função

g

a

. A notação para o inverso de

f

f^{- 1}

Considera as funções

f

g

definidas por:

f (x) = \frac{x + 1}{3}

g (x) = 3 x - 1

Observa como

f (5) = 2

g (2) = 5

Aqui vemos que quando aplicamos

f

seguido de

g

, obtemos o valor original de volta. Escrevemos

g (f (5)) = 5

Mas só podemos afirmar que

f

g

são inversas se provarmos que esse resultado é verdadeiro para qualquer valor de $x$ ‍, independentemente da ordem em que

f

g

são aplicadas.

Teorema: a composta de uma função com a sua inversa

Estas são as condições para que duas funções

f

g

sejam inversas:

$f (g (x)) = x$ ‍ para todo o $x$ ‍ no domínio de $g$ ‍
$g (f (x)) = x$ ‍ para todo o $x$ ‍ no domínio de $f$ ‍

As compostas de duas funções inversas,

g (f (x)) e f (g (x))

, são iguais à função identidade.

Exemplo 1: As funções $f$ ‍ e $g$ ‍ são inversas

Vamos usar o teorema para verificar que

f

g

acima são, de facto, funções inversas.

f (x) = \frac{x + 1}{3}

g (x) = 3 x - 1

Vamos obter as expressões de

f (g (x))

e de

g (f (x))

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = \frac{g (x) + 1}{3} \\ = \frac{3 x - 1 + 1}{3} \\ = \frac{3 x}{3} \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = 3 (f (x)) - 1 \\ = 3 (\frac{x + 1}{3}) - 1 \\ = x + 1 - 1 \\ = x \end{aligned}$ ‍

Então, as funções

f

g

são inversas porque

f (g (x)) = g (f (x)) = x

Exemplo 2: As funções $f$ ‍ e $g$ ‍ não são inversas

f (g (x))

g (f (x))

não é igual a

x

, então

f

g

não podem ser funções inversas.

Sejam as funções

f

g

definidas por:

f (x) = 5 x - 7

g (x) = \frac{x}{5} + 7

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = 5 (g (x)) - 7 \\ = 5 (\frac{x}{5} + 7) - 7 \\ = x + 35 - 7 \\ = x + 28 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = \frac{f (x)}{5} + 7 \\ = \frac{5 x - 7}{5} + 7 \\ = x - \frac{7}{5} + 7 \\ = x + \frac{28}{5} \end{aligned}$ ‍

Então, as funções

f

g

não são inversas porque

f (g (x)) \neq x

g (f (x)) \neq x

Observa que como

f (g (x)) = x + 28

não tinha sido necessário determinar a expressão de

g (f (x))

para concluir que

f

g

não são funções inversas.

Testa o teu conhecimento

Em geral, para verificar se

f

g

são funções inversas, podemos determinar as expressões das compostas dessas duas funções. Se o resultado for

x

, as funções são inversas. Caso contrário, elas não são.

1) $f (x) = 2 x + 7$ ‍ e $h (x) = \frac{x - 7}{2}$ ‍

Escreve expressões simplificadas para $f (h (x))$ ‍ e $h (f (x))$ ‍ em função de $x$ ‍.

f (h (x)) =

h (f (x)) =

As funções $f$ ‍ e $h$ ‍ são inversas?

$f (h (x))$ ‍	$h (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (h (x)) & = 2 (h (x)) + 7 \\ = 2 (\frac{x - 7}{2}) + 7 \\ = x - 7 + 7 \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} h (f (x)) & = \frac{(f (x)) - 7}{2} \\ = \frac{2 x + 7 - 7}{2} \\ = \frac{2 x}{2} \\ = x \end{aligned}$ ‍

2) $f (x) = 4 x + 10$ ‍ e $g (x) = \frac{1}{4} x - 10$ ‍

Escreve expressões simplificadas para $f (h (x))$ ‍ e $g (f (x))$ ‍ em função de $x$ ‍.

f (g (x)) =

g (f (x)) =

As funções $f$ ‍ e $g$ ‍ são inversas?

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = 4 (g (x)) + 10 \\ = 4 (\frac{1}{4} x - 10) + 10 \\ = x - 40 + 10 \\ = x - 30 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = \frac{1}{4} (f (x)) - 10 \\ = \frac{1}{4} (4 x + 10) - 10 \\ = x + 2, 5 - 10 \\ = x - 7, 5 \end{aligned}$ ‍

3) $f (x) = \frac{2}{3} x - 8$ ‍ e $h (x) = \frac{3}{2} (x + 8)$ ‍

Escreve expressões simplificadas para $f (h (x))$ ‍ e $h (f (x))$ ‍ em função de $x$ ‍.

f (h (x)) =

h (f (x)) =

As funções $f$ ‍ e $h$ ‍ são inversas?

$f (h (x))$ ‍	$h (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (h (x)) & = \frac{2}{3} (h (x)) - 8 \\ = \frac{2}{3} (\frac{3}{2} (x + 8)) - 8 \\ = x + 8 - 8 \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} h (f (x)) & = \frac{3}{2} (f (x) + 8) \\ = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x - 8 + 8) \\ = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x) \\ = x \end{aligned}$ ‍

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10.ºano

Assunto: 10.ºano > Tema 2

Teorema: a composta de uma função com a sua inversa

Exemplo 1: As funções f‍ e g‍ são inversas

Exemplo 2: As funções f‍ e g‍ não são inversas