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10.ºano

Assunto: 10.ºano  > Tema 2

Lição 6: Função inversa
Matemática
10.ºano
Funções Reais de Variável Real
Função inversa
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Verificar as funções inversas através da composição

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Aprender a verificar se duas funções são inversas, compondo-as. Por exemplo, f(x)=5x-7 e g(x)=x/5+7 são funções inversas?
Este artigo é sobre funções compostas. Se precisas de uma revisão sobre este assunto, recomendamos que vás aqui antes de ler este artigo.
Duas funções f e g são inversas é equivalente a dizer que: qualquer que seja a, se a imagem de a pela função f for b , a imagem de b pela função g é a. A notação para o inverso de f é f−1.
Considera as funções f e g definidas por: f(x)=x+13 e g(x)=3x−1.
Observa como f(5)=2 e g(2)=5.
Aqui vemos que quando aplicamos f seguido de g, obtemos o valor original de volta. Escrevemos g(f(5))=5.
Mas só podemos afirmar que f e g são inversas se provarmos que esse resultado é verdadeiro para qualquer valor de x, independentemente da ordem em que f e g são aplicadas.

Teorema: a composta de uma função com a sua inversa

Estas são as condições para que duas funções f e g sejam inversas:
  • f(g(x))=x para todo o x no domínio de g
  • g(f(x))=x para todo o x no domínio de f
As compostas de duas funções inversas, g(f(x))ef(g(x)), são iguais à função identidade.

Exemplo 1: As funções f e g são inversas

Vamos usar o teorema para verificar que f e g acima são, de facto, funções inversas.
f(x)=x+13 e g(x)=3x−1.
Vamos obter as expressões de f(g(x)) e de g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x
Então, as funções f e g são inversas porque f(g(x))=g(f(x))=x.

Exemplo 2: As funções f e g não são inversas

Se f(g(x)) ou g(f(x)) não é igual a x, então f e g não podem ser funções inversas.
Sejam as funções f e g definidas por: f(x)=5x−7 e g(x)=x5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285
Então, as funções f e g não são inversas porque f(g(x))≠x e g(f(x))≠x.
Observa que como f(g(x))=x+28 não tinha sido necessário determinar a expressão de g(f(x)) para concluir que f e g não são funções inversas.

Testa o teu conhecimento

Em geral, para verificar se f e g são funções inversas, podemos determinar as expressões das compostas dessas duas funções. Se o resultado for x, as funções são inversas. Caso contrário, elas não são.

1) f(x)=2x+7 e h(x)=x−72

Escreve expressões simplificadas para f(h(x)) e h(f(x)) em função de x.
f(h(x))=
h(f(x))=
As funções f e h são inversas?
Seleciona a opção correta.

2) f(x)=4x+10 e g(x)=14x−10

Escreve expressões simplificadas para f(h(x)) e g(f(x)) em função de x.
f(g(x))=
g(f(x))=
As funções f e g são inversas?
Seleciona a opção correta.

3) f(x)=23x−8 e h(x)=32(x+8)

Escreve expressões simplificadas para f(h(x)) e h(f(x)) em função de x.
f(h(x))=
h(f(x))=
As funções f e h são inversas?
Seleciona a opção correta.

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