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Introdução às funções compostas

Saber porque queremos compor duas funções analisando um exemplo da agricultura.

O Carlos é agricultor. Todos os anos ele planta sementes que se transformam em milho. A seguinte função indica a quantidade de milho, C, em quilogramas (kg), que ele espera produzir se plantar milho em a hectares de terra.
C(a)=7500a1500
Por exemplo, se o Carlos plantar dois hectares, ele espera produzir C(2)=7500×21500=13 500 kg de milho.
Mas, o que o Carlos realmente quer saber é quanto dinheiro é que ele vai ganhar com a venda deste milho. Então, ele usa a seguinte função para prever a quantia, M, em euros, que ele irá ganhar com a venda de c quilogramas de milho.
M(c)=0,9c50
Então, se o Carlos produzir 13 500kg de milho, ele pode esperar obter M(13 500)=0,9×13 50050=12 100 €.
Observa que o Carlos precisa de usar duas funções diferentes para obter os ganhos esperados a partir de hectares plantados. A primeira função, C, transforma hectares em milho, enquanto que a segunda função, M, transforma milho em dinheiro.
Não seria ótimo se o Carlos pudesse escrever uma única função que transformasse os hectares plantados diretamente na quantia que irá ganhar?

Criar uma nova função

Podemos, de facto, determinar a função que transforma hectares plantados na quantia que irá ganhar! Para encontrar esta nova função, vamos pensar na questão de uma forma geral: quanto dinheiro é que o Carlos espera ganhar se ele plantar sementes de milho em a hectares de terra?
Bem, se o Carlos plantar milho em a hectares, ele espera produzir C(a) quilogramas de milho. E se ele produz C(a) quilogramas de milho, ele espera ganhar M(C(a)) euros.
Então, para encontrar a função que a a hectares faz corresponder a quantia que irá ganhar, podemos encontrar a expressão M(C(a)).
Mas como é que fazemos isso? Bem, observa que na expressão M(C(a)), a entrada da função M é C(a). Então, para encontrar essa expressão, podemos substituir C(a) por c na função M.
M(c)=0,9c50M(C(a))=0,9(C(a))50=0,9(7500a1500)50          Como C(a)=7500a1500=6750a135050=6750a1400
Então, a função M(C(a))=6750a1400 permite determinar a quantia que se ganha dependendo do número de hectares plantados. Vamos usar esta nova função para determinar a quantia, em euros, que o Carlos espera ganhar com a plantação de milho em dois hectares.
M(C(2))=6 750×21 400=12 100 
O Carlos pode esperar obter 12 100  a partir da plantação de milho em dois hectares de terra, o que é consistente com o nosso resultado anterior!

Definir funções compostas

A função que acabámos de obter designa-se por função composta. Em vez de substituir hectares plantados na função milho e, em seguida, substituir a quantidade de milho produzido na função dinheiro, encontramos uma função que ao número de hectares plantados faz corresponder a quantia, em euros, que se espera ganhar.
Para tal, substituímos C(a) na função M, ou seja determinámos a expressão da função M(C(a)). Vamos chamar esta nova função MC ou "função composta de M com C".
Por definição (MC)(a)=M(C(a)).

Visualizar os dois métodos

Aqui está um esquema para ajudar a interpretar a definição acima.
Se utilizarmos a função C e depois a função M, então a imagem de 2 pela função C é 13 500, e a imagem de 13 500 pela função M é 12 100 .
Se utilizarmos a função MC, obtemos diretamente que a imagem de 2 é 12 100 .
Ambos os métodos são equivalentes!

Agora vamos praticar!

Problema 1

Usando as funções apresentadas no exemplo, quanto é que o Carlos espera ganhar se vender todo o milho produzido em 1,5 hectares?
Para referência: C(a)=7500a1500, M(c)=0,9c50 e M(C(a))=6750a1400
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
euros

Problema 2

O Bernardo é um agricultor de batatas. A função P(a)=25 0001000 representa a quantidade de batatas, P, em quilogramas, que ele espera produzir a partir da plantação de batatas em a hectares de terra. A função M(p)=0,2p200 representa a quantia, M, em euros, que o Bernardo espera fazer se produzir p quilogramas de batatas.
Quanto é que o Bernardo pode ganhar se ele vender todas as batatas produzidas em 3 hectares?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3

Qual das seguintes expressões representa a quantia, em euros, que o Bernardo espera obter se plantar batatas em a hectares de terra?
Seleciona a opção correta.

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