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10.ºano
Assunto: 10.ºano > Tema 2
Lição 5: Função composta- Introdução às funções compostas
- Introdução às funções compostas
- Funções compostas
- Avaliação das funções compostas
- Calcular a imagem de um valor por uma função composta
- Avaliação das funções compostas: utilização de tabelas
- Avaliação das funções compostas: utilização de gráficos
- Calcular a imagem de um valor por uma função composta: gráficos e tabelas
- Encontrar funções compostas
- Escrever a expressão de uma função composta
- Avaliação de funções compostas (avançado)
- Modelagem com funções compostas
- Modelagem com funções compostas (exemplo 2)
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Introdução às funções compostas
Saber porque queremos compor duas funções analisando um exemplo da agricultura.
O Carlos é agricultor. Todos os anos ele planta sementes que se transformam em milho. A seguinte função indica a quantidade de milho, , em quilogramas (kg), que ele espera produzir se plantar milho em hectares de terra.
Por exemplo, se o Carlos plantar dois hectares, ele espera produzir de milho.
Mas, o que o Carlos realmente quer saber é quanto dinheiro é que ele vai ganhar com a venda deste milho. Então, ele usa a seguinte função para prever a quantia, , em euros, que ele irá ganhar com a venda de quilogramas de milho.
Então, se o Carlos produzir de milho, ele pode esperar obter €.
Observa que o Carlos precisa de usar duas funções diferentes para obter os ganhos esperados a partir de hectares plantados. A primeira função, , transforma hectares em milho, enquanto que a segunda função, , transforma milho em dinheiro.
Não seria ótimo se o Carlos pudesse escrever uma única função que transformasse os hectares plantados diretamente na quantia que irá ganhar?
Criar uma nova função
Podemos, de facto, determinar a função que transforma hectares plantados na quantia que irá ganhar! Para encontrar esta nova função, vamos pensar na questão de uma forma geral: quanto dinheiro é que o Carlos espera ganhar se ele plantar sementes de milho em hectares de terra?
Bem, se o Carlos plantar milho em hectares, ele espera produzir quilogramas de milho. E se ele produz quilogramas de milho, ele espera ganhar euros.
Então, para encontrar a função que a hectares faz corresponder a quantia que irá ganhar, podemos encontrar a expressão .
Mas como é que fazemos isso? Bem, observa que na expressão , a entrada da função é . Então, para encontrar essa expressão, podemos substituir por na função .
Então, a função permite determinar a quantia que se ganha dependendo do número de hectares plantados. Vamos usar esta nova função para determinar a quantia, em euros, que o Carlos espera ganhar com a plantação de milho em dois hectares.
O Carlos pode esperar obter a partir da plantação de milho em dois hectares de terra, o que é consistente com o nosso resultado anterior!
Definir funções compostas
A função que acabámos de obter designa-se por função composta. Em vez de substituir hectares plantados na função milho e, em seguida, substituir a quantidade de milho produzido na função dinheiro, encontramos uma função que ao número de hectares plantados faz corresponder a quantia, em euros, que se espera ganhar.
Para tal, substituímos na função , ou seja determinámos a expressão da função . Vamos chamar esta nova função ou "função composta de com ".
Por definição .
Visualizar os dois métodos
Aqui está um esquema para ajudar a interpretar a definição acima.
Se utilizarmos a função e depois a função , então a imagem de pela função é , e a imagem de pela função é .
Se utilizarmos a função , obtemos diretamente que a imagem de é .
Ambos os métodos são equivalentes!
Agora vamos praticar!
Problema 2
O Bernardo é um agricultor de batatas. A função representa a quantidade de batatas, , em quilogramas, que ele espera produzir a partir da plantação de batatas em hectares de terra. A função representa a quantia, , em euros, que o Bernardo espera fazer se produzir quilogramas de batatas.
Problema 3
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