O Carlos é agricultor. Todos os anos ele planta sementes que se transformam em milho. A seguinte função indica a quantidade de milho, $C$‍, em quilogramas (kg), que ele espera produzir se plantar milho em $a$‍ hectares de terra.

Por exemplo, se o Carlos plantar dois hectares, ele espera produzir $C(2)=7500\times 2-1500=13500$‍ $\text{kg}$‍ de milho.

Mas, o que o Carlos realmente quer saber é quanto dinheiro é que ele vai ganhar com a venda deste milho. Então, ele usa a seguinte função para prever a quantia, $M$‍, em euros, que ele irá ganhar com a venda de $c$‍ quilogramas de milho.

Então, se o Carlos produzir $13500kg$‍ de milho, ele pode esperar obter $M(13500)=0,9\times 13500-50=12100$‍ €.

Observa que o Carlos precisa de usar duas funções diferentes para obter os ganhos esperados a partir de hectares plantados. A primeira função, $C$‍, transforma hectares em milho, enquanto que a segunda função, $M$‍, transforma milho em dinheiro.

Não seria ótimo se o Carlos pudesse escrever uma única função que transformasse os hectares plantados diretamente na quantia que irá ganhar?

Podemos, de facto, determinar a função que transforma hectares plantados na quantia que irá ganhar! Para encontrar esta nova função, vamos pensar na questão de uma forma geral: quanto dinheiro é que o Carlos espera ganhar se ele plantar sementes de milho em $a$‍ hectares de terra?

Bem, se o Carlos plantar milho em $a$‍ hectares, ele espera produzir $C(a)$‍ quilogramas de milho. E se ele produz $C(a)$‍ quilogramas de milho, ele espera ganhar $M(C(a))$‍ euros.

Então, para encontrar a função que a $a$‍ hectares faz corresponder a quantia que irá ganhar, podemos encontrar a expressão $M(C(a))$‍.

Mas como é que fazemos isso? Bem, observa que na expressão $M(C(a))$‍, a entrada da função $M$‍ é $C(a)$‍. Então, para encontrar essa expressão, podemos substituir $C(a)$‍ por $c$‍ na função $M$‍.

Então, a função $M(C(a))=6750a-1400$‍ permite determinar a quantia que se ganha dependendo do número de hectares plantados. Vamos usar esta nova função para determinar a quantia, em euros, que o Carlos espera ganhar com a plantação de milho em dois hectares.

O Carlos pode esperar obter $12100\text{€}$‍ a partir da plantação de milho em dois hectares de terra, o que é consistente com o nosso resultado anterior!

A função que acabámos de obter designa-se por função composta. Em vez de substituir hectares plantados na função milho e, em seguida, substituir a quantidade de milho produzido na função dinheiro, encontramos uma função que ao número de hectares plantados faz corresponder a quantia, em euros, que se espera ganhar.

Para tal, substituímos $C(a)$‍ na função $M$‍, ou seja determinámos a expressão da função $M(C(a))$‍. Vamos chamar esta nova função $M\circ C$‍ ou "função composta de $M$‍ com $C$‍".

Por definição $(M\circ C)(a)=M(C(a))$‍.

Aqui está um esquema para ajudar a interpretar a definição acima.

Se utilizarmos a função $C$‍ e depois a função $M$‍, então a imagem de $2$‍ pela função $C$‍ é $13500$‍, e a imagem de $13500$‍ pela função $M$‍ é $12100\text{€}$‍.

Se utilizarmos a função $M\circ C$‍, obtemos diretamente que a imagem de $2$‍ é $12100\text{€}$‍.

Ambos os métodos são equivalentes!

O Bernardo é um agricultor de batatas. A função $P(a)=25000-1000$‍ representa a quantidade de batatas, $P$‍, em quilogramas, que ele espera produzir a partir da plantação de batatas em $a$‍ hectares de terra. A função $M(p)=0,2p-200$‍ representa a quantia, $M$‍, em euros, que o Bernardo espera fazer se produzir $p$‍ quilogramas de batatas.