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10.ºano

Assunto: 10.ºano  > Tema 2

Lição 5: Função composta
Matemática
10.ºano
Funções Reais de Variável Real
Função composta
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Introdução às funções compostas

Google Classroom
Saber porque queremos compor duas funções analisando um exemplo da agricultura.

O Carlos é agricultor. Todos os anos ele planta sementes que se transformam em milho. A seguinte função indica a quantidade de milho, C, em quilogramas (kg), que ele espera produzir se plantar milho em a hectares de terra.
C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500
Por exemplo, se o Carlos plantar dois hectares, ele espera produzir C, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 7500, ×, 2, minus, 1500, equals, 13, space, 500 start text, k, g, end text de milho.
Mas, o que o Carlos realmente quer saber é quanto dinheiro é que ele vai ganhar com a venda deste milho. Então, ele usa a seguinte função para prever a quantia, M, em euros, que ele irá ganhar com a venda de c quilogramas de milho.
M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, c, minus, 50
Então, se o Carlos produzir 13, space, 500, k, g de milho, ele pode esperar obter M, left parenthesis, 13, space, 500, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, ×, 13, space, 500, minus, 50, equals, 12, space, 100 €.
Observa que o Carlos precisa de usar duas funções diferentes para obter os ganhos esperados a partir de hectares plantados. A primeira função, C, transforma hectares em milho, enquanto que a segunda função, M, transforma milho em dinheiro.
Não seria ótimo se o Carlos pudesse escrever uma única função que transformasse os hectares plantados diretamente na quantia que irá ganhar?

Criar uma nova função

Podemos, de facto, determinar a função que transforma hectares plantados na quantia que irá ganhar! Para encontrar esta nova função, vamos pensar na questão de uma forma geral: quanto dinheiro é que o Carlos espera ganhar se ele plantar sementes de milho em a hectares de terra?
Bem, se o Carlos plantar milho em a hectares, ele espera produzir C, left parenthesis, a, right parenthesis quilogramas de milho. E se ele produz C, left parenthesis, a, right parenthesis quilogramas de milho, ele espera ganhar M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis euros.
Então, para encontrar a função que a a hectares faz corresponder a quantia que irá ganhar, podemos encontrar a expressão M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.
Mas como é que fazemos isso? Bem, observa que na expressão M, left parenthesis, start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, a entrada da função M é start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54. Então, para encontrar essa expressão, podemos substituir start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54 por start color #e07d10, c, end color #e07d10 na função M.
M(c)=0,9c−50M(C(a))=0,9(C(a))−50=0,9(7500a−1500)−50          Como C(a)=7500a−1500=6750a−1350−50=6750a−1400\begin{aligned} M(\goldD c)&=0{,}9\goldD c-50\\\\ M({\greenD{C(a)}})&=0{,}9(\greenD{C(a)})-50\\ \\ &= 0{,}9(\greenD{7500a-1500})-50~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Como }}}\small{\gray{C(a)=7500a-1500} }\\\\ &= 6750a-1350-50\\\\ &=6750a-1400 \end{aligned}
Então, a função M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400 permite determinar a quantia que se ganha dependendo do número de hectares plantados. Vamos usar esta nova função para determinar a quantia, em euros, que o Carlos espera ganhar com a plantação de milho em dois hectares.
M, left parenthesis, C, left parenthesis, 2, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6, space, 750, ×, 2, minus, 1, space, 400, equals, 12, space, 100, space, €
O Carlos pode esperar obter 12, space, 100, space, € a partir da plantação de milho em dois hectares de terra, o que é consistente com o nosso resultado anterior!

Definir funções compostas

A função que acabámos de obter designa-se por função composta. Em vez de substituir hectares plantados na função milho e, em seguida, substituir a quantidade de milho produzido na função dinheiro, encontramos uma função que ao número de hectares plantados faz corresponder a quantia, em euros, que se espera ganhar.
Para tal, substituímos C, left parenthesis, a, right parenthesis na função M, ou seja determinámos a expressão da função M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Vamos chamar esta nova função M, circle, C ou "função composta de M com C".
Por definição left parenthesis, M, circle, C, right parenthesis, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.

Visualizar os dois métodos

Aqui está um esquema para ajudar a interpretar a definição acima.
Se utilizarmos a função C e depois a função M, então a imagem de 2 pela função C é 13, space, 500, e a imagem de 13, space, 500 pela função M é 12, space, 100, start text, space, €, end text.
Se utilizarmos a função M, circle, C, obtemos diretamente que a imagem de 2 é 12, space, 100, start text, space, €, end text.
Ambos os métodos são equivalentes!

Agora vamos praticar!

Problema 1

Usando as funções apresentadas no exemplo, quanto é que o Carlos espera ganhar se vender todo o milho produzido em 1,5 hectares?
Para referência: C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500, M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, c, minus, 50 e M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
euros

Problema 2

O Bernardo é um agricultor de batatas. A função P, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 25, space, 000, minus, 1000 representa a quantidade de batatas, P, em quilogramas, que ele espera produzir a partir da plantação de batatas em a hectares de terra. A função M, left parenthesis, p, right parenthesis, equals, 0, comma, 2, p, minus, 200 representa a quantia, M, em euros, que o Bernardo espera fazer se produzir p quilogramas de batatas.
Quanto é que o Bernardo pode ganhar se ele vender todas as batatas produzidas em 3 hectares?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3

Qual das seguintes expressões representa a quantia, em euros, que o Bernardo espera obter se plantar batatas em a hectares de terra?
Seleciona a opção correta.

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