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10.ºano

Assunto: 10.ºano  > Tema 2

Lição 5: Função composta
Matemática
10.ºano
Funções Reais de Variável Real
Função composta
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Funções compostas

Google Classroom
Exemplos passo a passo, explicações e problemas para aprender a encontrar e calcular funções compostas.
Uma função obtida a partir de duas, de forma a que as imagens de uma função se tornam os objetos da outra, designa-se por função composta. Vamos ver como funciona!

Calcular a imagem de um objeto por uma função composta

Exemplo

Sendo f(x)=3x−1 e g(x)=x3+2, calcula f(g(3)).

Solução

Uma forma de calcular f(g(3)) é começar a partir de dentro. Ou seja, primeiro determinamos g(3) e depois substituímos esse resultado na função f.
Vamos calcular g(3).
g(x)=x3+2g(3)=33+2                   Substituir x por 3.=29
Dado que g(3)=29, então f(g(3))=f(29).
Vamos agora calcular f(29).
f(x)=3x−1f(29)=3×29−1               Substituir x por 29.=86
Conclui-se então que f(g(3))=f(29)=86.

Expressão da função composta.

No exemplo anterior, a imagem de função 3 pela função g é 29, e a imagem de 29 pela função f é 86. Vamos então escrever a expressão da função que a 3 faz corresponder 86.
Para isso, vamos escrever a expressão da função composta f(g(x)).

Exemplo

Determina f(g(x)).
Para referência, lembra-te que f(x)=3x−1 e g(x)=x3+2.

Solução

f(g(x)) é a imagem de g(x) pela função f. Então vamos substituir x por g(x) na expressão da função f.
f(x)=3x−1f(g(x))=3g(x)−1
Uma vez que g(x)=x3+2, podemos substituir o g(x) por x3+2.
f(g(x))=3g(x)−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5
Vamos verificar se a imagem de 3 por esta função é 86.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3×33+5=86
Excelente!

Vamos praticar

Problema 1

f(x)=3x−1
g(x)=x3+2
Calcula g(f(1)).
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2

m(x)=3x−2
n(x)=x+4
Escreve a expressão de m(n(x)).

Funções compostas: uma definição

No exemplo acima escrevemos a expressão de uma função composta.
A função composta de f com g representa-se por f∘g, que se lê "f após g", é por definição:
(f∘g)(x)=f(g(x))
O esquema seguinte permite perceber que f(g(x)) é a imagem de x pela função (f∘g)
Vamos agora olhar para outro exemplo.

Exemplo

g(x)=x+4
h(x)=x2−2x
Encontrar (h∘g)(x) e (h∘g)(−2).

Solução

Podemos determinar (h∘g)(x) da seguinte forma:
(h∘g)(x)=h(g(x))Define.=(g(x))2−2(g(x))Substitui h pela sua expressão.=(x+4)2−2(x+4)Substitui g pela sua expressão.=x2+8x+16−2x−8Distribui.=x2+6x+8Simplifica.
Uma vez que agora temos a expressão da função h∘g, podemos simplesmente substituir x por −2 para determinar (h∘g)(−2).
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6×(−2)+8=4−12+8=0
Para calcular (h∘g)(−2) podemos calcular h(g(−2)) como a seguir se apresenta:
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)        Dado que g(−2)=−2+4=2=0             Dado que h(2)=22−2×2=0
O seguinte diagrama mostra como (h∘g)(−2) se relaciona com h(g(−2)).
A imagem de −2 por g ét 2 e a imagem de 2 por h esté 0. A imagem de −2 por g seguida de h, ou seja, por h∘g é 0.

Agora vamos praticar

Problema 3

f(x)=3x−5
g(x)=3−2x
Calcular (g∘f)(3).
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Nos exercícios 4 e 5 considera-se f(t)=t−2 e g(t)=t2+5.

Exercício 4

Escrever a expressão de (g∘f)(t).

Problema 5

Escrever a expressão de (f∘g)(t).

Desafio

Os gráficos das funções f e g estão representados abaixo.
Pela representação gráfica, (f∘g)(8) é igual a:
Seleciona a opção correta.

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