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Conteúdo principal

Funções compostas

Exemplos passo a passo, explicações e problemas para aprender a encontrar e calcular funções compostas.
Uma função obtida a partir de duas, de forma a que as imagens de uma função se tornam os objetos da outra, designa-se por função composta. Vamos ver como funciona!

Calcular a imagem de um objeto por uma função composta

Exemplo

Sendo f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, calcula f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis.

Solução

Uma forma de calcular f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis é começar a partir de dentro. Ou seja, primeiro determinamos g, left parenthesis, 3, right parenthesis e depois substituímos esse resultado na função f.
Vamos calcular g, left parenthesis, 3, right parenthesis.
g(x)=x3+2g(3)=33+2                   Substituir x por 3.=29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&={3}^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituir }x~por~{3.}}}\\\\ &={29}\end{aligned}
Dado que g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29, então f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
Vamos agora calcular f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
f(x)=3x1f(29)=3×291               Substituir x por 29.=86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3×{29} - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituir }x~por~ {29.}}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
Conclui-se então que f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86.

Expressão da função composta.

No exemplo anterior, a imagem de função 3 pela função g é 29, e a imagem de 29 pela função f é 86. Vamos então escrever a expressão da função que a 3 faz corresponder 86.
Para isso, vamos escrever a expressão da função composta f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Exemplo

Determina f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Para referência, lembra-te que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.

Solução

f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis é a imagem de start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c pela função f. Então vamos substituir start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 por start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c na expressão da função f.
f(x)=3x1f(g(x))=3g(x)1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3\maroonD{g(x)}-1 \\ \end{aligned}
Uma vez que g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, podemos substituir o g, left parenthesis, x, right parenthesis por x, cubed, plus, 2.
f(g(x))=3g(x)1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3g(x)-1 \\\\ &=3({x^3+2})-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
Vamos verificar se a imagem de 3 por esta função é 86.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3×33+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3×3^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
Excelente!

Vamos praticar

Problema 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2
Calcula g, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2

m, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2
n, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
Escreve a expressão de m, left parenthesis, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Funções compostas: uma definição

No exemplo acima escrevemos a expressão de uma função composta.
A função composta de f com g representa-se por f, circle, g, que se lê "f após g", é por definição:
left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
O esquema seguinte permite perceber que f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis é a imagem de x pela função left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis
Vamos agora olhar para outro exemplo.

Exemplo

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x
Encontrar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis e left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.

Solução

Podemos determinar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis da seguinte forma:
(hg)(x)=h(g(x))Define.=(g(x))22(g(x))Substitui h pela sua expressa˜o.=(x+4)22(x+4)Substitui g pela sua expressa˜o.=x2+8x+162x8Distribui.=x2+6x+8Simplifica.\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{Define.}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{Substitui } h \text{ pela sua expressão.}}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{\text{Substitui } g \text{ pela sua expressão.}}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{Distribui.}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{Simplifica.}}}\end{aligned}
Uma vez que agora temos a expressão da função h, circle, g, podemos simplesmente substituir x por minus, 2 para determinar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6×(2)+8=412+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6×(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
Para calcular left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis podemos calcular h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis como a seguir se apresenta:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        Dado que g(2)=2+4=2=0             Dado que h(2)=222×2=0\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{Dado que }g(-2)=-2+4=2}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Dado que }h(2)=2^2-2×2=0}}\\\\ \end{aligned}
O seguinte diagrama mostra como left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis se relaciona com h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
A imagem de minus, 2 por g ét 2 e a imagem de 2 por h esté 0. A imagem de minus, 2 por g seguida de h, ou seja, por h, circle, g é 0.

Agora vamos praticar

Problema 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 5
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, minus, 2, x
Calcular left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Nos exercícios 4 e 5 considera-se f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2 e g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5.

Exercício 4

Escrever a expressão de left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Problema 5

Escrever a expressão de left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Desafio

Os gráficos das funções f e g estão representados abaixo.
Pela representação gráfica, left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, 8, right parenthesis é igual a:
Seleciona a opção correta.

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