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Resolução de equações de 2.º grau pelo método da raiz quadrada

Aprender a resolver equações quadráticas como x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

O que vais aprender nesta lição

Até agora, tens resolvido equações lineares, que incluem termos constantes — números — e termos com a variável elevada a1, uma vez que x1=x.
Agora vais aprender a resolver equações quadráticas, que incluem termos onde a variável é elevada à segunda potência, x2.
Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações quadráticas que vais aprender a resolver:
x2=36
(x2)2=49
2x2+3=131
Agora vamos trabalhar.

Resolver x2=36 e equações semelhantes

Supõe que queremos resolver a equação x2=36. Primeiro vamos verbalizar o que é que a equação nos pergunta. A equação pergunta qual é o número, que multiplicado por si, é igual a 36.
Se esta pergunta te soa familiar, é porque esta é a definição de raiz quadrada de 36, a qual é expressa matematicamente por 36.
A solução completa da equação é a seguinte:
x2=36x2=36Aplicar a raiz quadrada.x=±36x=±6
Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.

Qual o significado do sinal ±

Repara que cada número positivo tem duas raízes: uma raiz quadrada positiva e uma raiz quadrada negativa. Por exemplo, tanto 6 como 6, quando elevados ao quadrado, são igual a 36. Portanto, esta equação tem duas soluções.
O sinal ± é apenas uma forma eficiente de representar este conceito matematicamente. Por exemplo, ±6 significa "6 ou 6".

Uma nota sobre operações inversas

Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: se a variável tinha 3 adicionado a ela, nós subtraímos 3 em ambos os membros. Se a variável foi multiplicada por 4, dividimos ambos os membros por 4.
A operação inversa de fazer o quadrado é aplicar a raiz quadrada. No entanto, ao contrário de outras operações, quando fazemos a raiz quadrada não podemos esquecer que temos a raiz quadrada positiva e a raiz quadrada negativa.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Problema 1
Resolver x2=16.
x=±
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Resolver x2=81.
x=±
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3
Resolver x2=5.
Seleciona a opção correta.

Como resolver (x2)2=49 e equações semelhantes

Este é o aspeto da resolução da equação(x2)2=49:
(x2)2=49(x2)2=49Aplicar a raiz quadrada.x2=±7x=±7+2Adicionar 2.
Portanto, as soluções são x=9 e x=5.
Vamos analisar o que aconteceu nesta solução.

Isolar x

Ao usar a operação inversa de fazer a raiz quadrada, removemos o sinal do expoente 2 (o quadrado). Isto era importante para isolar x, mas ainda tivemos que adicionar 2 na última etapa, a fim de realmente isolar x.

Compreensão das soluções

O exercício termina aqui x=±7+2. Que compreensão desta solução temos? Recorda que ±7 significa "+7 ou 7." Portanto, devemos dividir a nossa resposta em: x=7+2 ou x=7+2.
Isto dá-nos duas soluções, x=9 e x=5.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Problema 4
Resolver (x+3)2=25.
Seleciona a opção correta.

Problema 5
Resolver (2x1)2=9.
Seleciona a opção correta.

Problema 6
Resolver (x5)2=7.
Seleciona a opção correta.

Porque motivo não devemos desenvolver os parênteses

Voltemos à nossa equação de exemplo, (x2)2=49. Supõe que queríamos desenvolver os parênteses que existem. Afinal, é isso que fazemos nas equações lineares, certo?
Desenvolver os parênteses resulta na seguinte equação:
x24x+4=49
Se quiséssemos tirar a raiz quadrada desta equação, teríamos que tirar a raiz quadrada de x. Mas isto dá-nos x, que não nos ajuda.
Em contraste, aplicar a raiz quadrada em expressões como x2 ou (x2)2 dá-nos expressões simpáticas como x ou (x2).
Portanto, é realmente útil manter algumas fatorizações em equações quadráticas, porque isso permite-nos aplicar a raiz quadrada.

Resolução de 2x2+3=131 e equações semelhantes

Nem todas as equações quadráticas são resolvidas imediatamente aplicando a raiz quadrada. Às vezes temos que isolar o termo elevado ao quadrado antes de fazer a sua raiz.
Por exemplo, para resolver a equação 2x2+3=131 primeiro devemos isolar o x2. Fazemos isso da mesma forma que isolamos o termo x numa equação linear.
2x2+3=1312x2=128Subtrair 3.x2=64Dividir por 2.x2=64Aplicar a raiz quadrada.x=±8
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Problema 7
Resolver 3x27=5.
Seleciona a opção correta.

Problema 8
Resolver 4(x1)2+2=38.
Seleciona a opção correta.

Desafio
Resolver x2+8x+16=9.
Seleciona a opção correta.

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