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10.ºano

Assunto: 10.ºano  > Tema 6

Lição 3: Geometria
Matemática
10.ºano
Desafia-te!
Geometria
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Propriedades das translações

Google Classroom
Verificar de forma experimental o efeito de translações geométricas no comprimento de segmentos, na medida de ângulos e em retas paralelas.
Em geometria, quando aplicas uma translação a algum objeto, estás simplesmente a movê-lo, sem nunca o distorcer. Ao aplicares uma translação a um segmento de reta, o resultado continua a ser um segmento de reta e o seu comprimento não varia. Da mesma forma, se aplicares uma translação a um ângulo, a amplitude do ângulo resultante não varia.
Apesar de estas propriedades parecerem óbvias, será importante recordá-las mais tarde quando tentarmos provar resultados. Para teres a certeza de que percebeste estas propriedades, vejamos alguns exemplos.

Propriedade 1: Segmentos de reta são transformados em segmentos de reta com o mesmo comprimento.

Cada quadrado na grelha representa 1 unidade.
Qual é a imagem do segmento de reta open bracket, S, T, close bracket pela translação associada ao vetor de coordenadas left parenthesis, 2, comma, minus, 7, right parenthesis? ⁡\operatorname {}⁡\operatorname {}
Qual é o comprimento do segmento de reta antes da translação?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidades
Qual é o comprimento da imagem do segmento de reta, após a translação?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidades

Como podes ver, o segmento de reta original e a respetiva imagem pela translação são segmentos de reta com o mesmo comprimento. Isto é verdade para qualquer segmento de reta que seja transformado por qualquer translação.

Propriedade 2: Ângulos são transformados em ângulos com a mesma amplitude.

Qual é a imagem do ângulo angle, M, N, P pela translação associada ao vetor de corrdenadas left parenthesis, minus, 5, comma, minus, 6, right parenthesis? ⁡\operatorname {}⁡\operatorname {}
A amplitude do ângulo mudou depois da translação?
Seleciona a opção correta.

Como podes ver, o ângulo original e a respetiva imagem pela translação são ângulos com a mesma amplitude. Isto é verdade para qualquer ângulo que seja transformado por qualquer translação.

Propriedade 3: Retas são transformadas em retas, e retas paralelas são transformadas em retas paralelas.

Quais são as respetivas imagens das retas paralelas F, G e H, J pela translação associada ao vetor de coordenadas left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis?⁡\operatorname {}⁡\operatorname {}
As duas retas resultantes são paralelas?
Seleciona a opção correta.

Como podes ver, cada reta é transformada noutra reta, e as retas obtidas continuam a ser paralelas entre si. Isto aplica-se a qualquer reta—ou retas—quando são transformadas por qualquer translação.

Conclusão

Descobrimos que as translações tem as três seguintes propriedades:
  • os segmentos de reta são transformados em segmentos de reta com o mesmo comprimento;
  • os ângulos são transformados em ângulos com a mesma amplitude; e
  • as retas são transformadas em retas e retas paralelas são transformadas em retas paralelas.
Isto faz sentido porque uma translação consiste simplesmente em pegar num objeto e movê-lo para cima ou para baixo e para a esquerda ou para a direita. O objeto apenas muda de localização, as suas dimensões e propriedades mantêm-se.
É como usar um elevador ou apanhar um comboio: começas num sítio e acabas noutro, mas continuas a ser tu, certo?

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