Gráficos de polinómios: desafios

Neste caso, não conhecemos os valores específicos de $a$‍, $b$‍, e $c$‍, e por isso não vamos ser capazes de determinar os limites, interseções com o eixo dos $xx$‍, ou os intervalos nos quais o polinómio é positivo ou negativo.

No entanto, sabemos que o termo constante é $2$‍. E esta será a interseção do gráfico de $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+2$‍ com o eixo dos $yy$‍, porque quando colocamos $x=0$‍, obtemos $y=2$‍.

Por isso, a interseção do gráfico da função com o eixo dos $yy$‍ é $(0,2)$‍. O único gráfico que tem esta característica é o gráfico $C$‍.

Neste caso, não conhecemos o polinómio $p(x)$‍, e por isso não seremos capazes de determinar as interseções com o eixo dos $xx$‍ ou com o eixo dos $yy$‍, nem os intervalos nos quais o polinómio é positivo ou negativo.

Podemos, no entanto, determinar os limites da função. Como o grau de $p(x)$‍ é menor do que o grau de $-2x^5$‍, sabemos que $-2x^5$‍ deve ser o termo dominante do polinómio!

Por isso, os limites de $y=-2x^5+p(x)$‍ serão iguais aos limites do monómio $-2x^5$‍.

Como o grau de $-2x^5$‍ é $(5)$‍, então é ímpar. E, como o coeficiente $(-2)$‍ é negativo, tem-se:

Esta característica só é descrita pelo gráfico $B$‍.

Não conhecemos o valor de $k$‍, e por isso não podemos afirmar nada acerca da interseção com o eixo dos $yy$‍, dos limites, ou dos intervalos nos quais o gráfico da função é positivo ou negativo.

Sabemos, no entanto, que $2$‍ é uma raiz com multiplicidade par. Isto significa que o gráfico da função deve ser tangente ao eixo dos $xx$‍ no ponto $(2,0)$‍.

Também sabemos que $-1$‍ é uma raiz com multiplicidade ímpar. Isto significa que o gráfico da função deve intersetar o eixo dos $xx$‍ no ponto $(-1,0)$‍.

O gráficos que têm estas características são os gráficos $A$‍ e $D$‍.