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10.ºano

Assunto: 10.ºano > Tema 6

Lição 1: Álgebra

Gráficos de polinómios

Analisar os polinómios para esboçar o gráfico.

Conceitos importantes

Os limites de uma função

f

descrevem o comportamento do gráfico nas "extremidades" do eixo dos

x x

. Algebricamente, os limites são determinados pelas duas questões seguintes:

Quando $x \to + \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ tende para que valor?
Quando $x \to - \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ tende para que valor?

Se isto é novo para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo dos limites de um polinómio.

As raízes da função

f

correspondem às interseções do seu gráfico com o eixo dos

x x

. Se a função

f

tiver uma raiz com multiplicidade ímpar, o seu gráfico irá intersetar o eixo dos

x x

nesse valor

x

. Se a função

f

tiver uma raiz com multiplicidade par, o seu gráfico irá ser tangente ao eixo dos

x x

nesse ponto.

Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo acerca dos zeros de polinómios.

O que vais aprender nesta lição

Nesta aula, vamos usar as características acima para analisar e desenhar gráficos de polinómios. Vamos usar o esboço para encontrar os intervalos nos quais o polinómio é positivo e negativo.

Analisar funções polinomiais

Vamos agora analisar várias características do gráfico do polinómio

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

Encontrar a interseção com o eixo dos $y y$ ‍

Para encontrar a interseção do gráfico de

f

com o eixo dos

y y

, podemos encontrar

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 (0) - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = (- 2) (4) \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

A interseção do gráfico de

y = f (x)

com o eixo dos

y y

(0, - 8)

Encontrar as interseções com o eixo dos $x x$ ‍

Para encontrar as interseções com o eixo dos

x x

, podemos resolver a equação

f (x) = 0

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & ou x + 2 & = 0 & Anulamento do produto \\ x & = \frac{2}{3} & ou x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

As interseções do gráfico de

y = f (x)

com o eixo dos

x x

são

(\frac{2}{3}, 0)

(- 2, 0)

Os nossos cálculos também mostram que

\frac{2}{3}

é uma raiz de multiplicidade

1

- 2

é uma raiz de multiplicidade

2

. Isto significa que o gráfico irá intersetar o eixo dos

x x

no ponto

(\frac{2}{3}, 0)

e ser tangente ao eixo dos

x x

no ponto

(- 2, 0)

Encontrar os limites

Para encontrar os limites de uma função, podemos examinar o termo dominante quando o polinómio estiver escrito na forma canónica.

Vamos escrever o polinómio na forma canónica.

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

[É necessário fazermos isto?]

O termo dominante do polinómio é

3 x^{3}

, e por isso os limites da função

f

serão iguais aos limites de

3 x^{3}

Como o grau é ímpar e o coeficiente do termo dominante é positivo, tem-se: no limite em que

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

e no limite em que

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

Desenhar o gráfico

Podemos usar o que encontrámos acima para esboçar o gráfico de

y = f (x)

Vamos começar com os limites:

No limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
No limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

Isto significa que nas "extremidades", o gráfico vai ser igual ao gráfico de

y = x^{3}

Agora podemos acrescentar o que sabemos acerca das interseções com o eixo dos

x x

O gráfico é tangente ao eixo dos $x x$ ‍ no ponto $(- 2, 0)$ ‍, pois $- 2$ ‍ é uma raiz com multiplicidade par.
O gráfico interseta o eixo dos $x x$ ‍ em $(\frac{2}{3}, 0)$ ‍, dado que $\frac{2}{3}$ ‍ é uma raiz com multiplicidade ímpar.

Finalmente, vamos terminar este processo desenhando a interseção do gráfico com o eixo dos

y y

no ponto

(0, - 8)

e vamos preencher os intervalos com uma curva suave e continua.

Temos uma boa ideia da forma global da curva do gráfico da função, apesar de não sabermos exatamente onde é que são os pontos em que a concavidade muda.

Intervalos positivos e negativos

Agora que temos um esboço do gráfico de

f

, é fácil de determinar os intervalos nos quais

f

é positiva, e nos quais é negativa.

Vemos que

f

é positiva quando

x > \frac{2}{3}

e negativa quando

x < - 2

- 2 < x < \frac{2}{3}

Verifica o teu conhecimento

1) Agora vais desenhar um esboço do gráfico de

g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

sozinha(o).

a) Qual é a interseção do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ com o eixo dos $y y$ ‍?
$(0$ ‍,
A tua resposta deve ser
um número inteiro como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍
uma fração como $7 / 4$ ‍
um número decimal exato como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

[Preciso de ajuda!]

b) Quais são os limites do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Seleciona a opção correta.
(Escolha A)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

c) Quais são as interseções do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ com o eixo dos $x x$ ‍?
Seleciona a opção correta.
(Escolha A)
$(1, 0)$ ‍, $(- 2, 0)$ ‍, e $(5, 0)$ ‍
(Escolha B)
$(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍, e $(- 5, 0)$ ‍

[Preciso de ajuda!]

d) Qual dos gráficos seguintes é que poderia ser o gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Seleciona a opção correta.
(Escolha A)
(Escolha B)
(Escolha C)
(Escolha D)

[Preciso de ajuda!]

2) Qual dos seguintes gráficos é que poderia ser o gráfico de $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍

[Preciso de ajuda!]

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Conceitos importantes

O que vais aprender nesta lição

Analisar funções polinomiais

Encontrar a interseção com o eixo dos yy‍

Encontrar as interseções com o eixo dos xx‍

Encontrar os limites

Desenhar o gráfico

Intervalos positivos e negativos

Verifica o teu conhecimento

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Encontrar a interseção com o eixo dos $y y$ ‍

Encontrar as interseções com o eixo dos $x x$ ‍