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Conteúdo principal

Gráficos de polinómios

Analisar os polinómios para esboçar o gráfico.

Conceitos importantes

Os limites de uma função f descrevem o comportamento do gráfico nas "extremidades" do eixo dos x, x. Algebricamente, os limites são determinados pelas duas questões seguintes:
  • Quando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis tende para que valor?
  • Quando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis tende para que valor?
Se isto é novo para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo dos limites de um polinómio.
As raízes da função f correspondem às interseções do seu gráfico com o eixo dos x, x. Se a função f tiver uma raiz com multiplicidade ímpar, o seu gráfico irá intersetar o eixo dos x, x nesse valor x. Se a função f tiver uma raiz com multiplicidade par, o seu gráfico irá ser tangente ao eixo dos x, x nesse ponto.
Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo acerca dos zeros de polinómios.

O que vais aprender nesta lição

Nesta aula, vamos usar as características acima para analisar e desenhar gráficos de polinómios. Vamos usar o esboço para encontrar os intervalos nos quais o polinómio é positivo e negativo.

Analisar funções polinomiais

Vamos agora analisar várias características do gráfico do polinómio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

Encontrar a interseção com o eixo dos y, y

Para encontrar a interseção do gráfico de f com o eixo dos y, y, podemos encontrar f, left parenthesis, 0, right parenthesis.
f(x)=(3x2)(x+2)2f(0)=(3(0)2)(0+2)2f(0)=(2)(4)f(0)=8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
A interseção do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis com o eixo dos y, y é left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.

Encontrar as interseções com o eixo dos x, x

Para encontrar as interseções com o eixo dos x, x, podemos resolver a equação f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
f(x)=(3x2)(x+2)20=(3x2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
3x2=0oux+2=0Anulamento do produtox=23oux=2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{ou}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{Anulamento do produto}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{ou}\qquad x&=-2\end{aligned}
As interseções do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis com o eixo dos x, x são left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Os nossos cálculos também mostram que start fraction, 2, divided by, 3, end fraction é uma raiz de multiplicidade 1 e minus, 2 é uma raiz de multiplicidade 2. Isto significa que o gráfico irá intersetar o eixo dos x, x no ponto left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis e ser tangente ao eixo dos x, x no ponto left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.

Encontrar os limites

Para encontrar os limites de uma função, podemos examinar o termo dominante quando o polinómio estiver escrito na forma canónica.
Vamos escrever o polinómio na forma canónica.
f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x2x28x8f(x)=3x3+10x2+4x8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
O termo dominante do polinómio é start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10, e por isso os limites da função f serão iguais aos limites de 3, x, cubed.
Como o grau é ímpar e o coeficiente do termo dominante é positivo, tem-se: no limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity e no limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Desenhar o gráfico

Podemos usar o que encontrámos acima para esboçar o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Vamos começar com os limites:
  • No limite em que x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
  • No limite em que x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Isto significa que nas "extremidades", o gráfico vai ser igual ao gráfico de y, equals, x, cubed.
Agora podemos acrescentar o que sabemos acerca das interseções com o eixo dos x, x:
  • O gráfico é tangente ao eixo dos x, x no ponto left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, pois minus, 2 é uma raiz com multiplicidade par.
  • O gráfico interseta o eixo dos x, x em left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, dado que start fraction, 2, divided by, 3, end fraction é uma raiz com multiplicidade ímpar.
Finalmente, vamos terminar este processo desenhando a interseção do gráfico com o eixo dos y, y no ponto left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis e vamos preencher os intervalos com uma curva suave e continua.
Temos uma boa ideia da forma global da curva do gráfico da função, apesar de não sabermos exatamente onde é que são os pontos em que a concavidade muda.

Intervalos positivos e negativos

Agora que temos um esboço do gráfico de f, é fácil de determinar os intervalos nos quais f é positiva, e nos quais é negativa.
Vemos que f é positiva quando x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction e negativa quando x, is less than, minus, 2 ou minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Verifica o teu conhecimento

1) Agora vais desenhar um esboço do gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis sozinha(o).
a) Qual é a interseção do gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis com o eixo dos y, y?
left parenthesis, 0,
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

b) Quais são os limites do gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

c) Quais são as interseções do gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis com o eixo dos x, x?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

d) Qual dos gráficos seguintes é que poderia ser o gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

2) Qual dos seguintes gráficos é que poderia ser o gráfico de y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.