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Conteúdo principal

Resolução de equações de 2.º grau pela lei do anulamento do produto

Aprender a resolver equações quadráticas como (x-1)(x+3) = 0 e como usar a fatorização para resolver outras formas de equações.

O que deves saber antes desta lição

O que vais aprender nesta lição

Até agora, tens resolvido equações lineares, que incluem termos constantes — números — e termos com a variável elevada a1, uma vez que x1=x.
Também deves ter resolvido algumas equações de segundo grau, o que inclui a variável elevada a 2, calculando a raiz quadrada de ambos os membros da equação.
Nesta lição, vais aprender uma nova maneira de resolver equações de segundo grau. Mais especificamente, vais saber
  • Como resolver equações fatorizadas como (x1)(x+3)=0 e
  • Como utilizar métodos de fatorização, de maneira a transformar outras equações (como x23x10=0) numa forma fatorizada e resolvê-las.

Resolver equações de segundo grau com uma expressão fatorizada

Supõe que nos pedem para resolver a equação de segundo grau (x1)(x+3)=0.
Este é um produto de duas expressões que é igual a zero. Observa que qualquer valor x que torne (x1) ou (x+3) igual a zero tornará o seu produto igual a zero.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3
Substituindo x=1 ou x=3 na equação vai resultar numa proposição verdadeira 0=0, portanto ambas são soluções da equação.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Resolve (x+5)(x+7)=0.
Seleciona a opção correta.

Resolve (2x1)(4x3)=0.
Seleciona a opção correta.

Pergunta para reflexão

Este método de resolução pode ser aplicado à equação (x1)(x+3)=6
Seleciona a opção correta.

A lei do anulamento do produto

Como sabemos que não existem mais soluções além das duas que encontramos usando este método?
A resposta é dada por uma lei simples, mas muito útil, chamada lei do anulamento do produto:
Se o produto de dois valores for igual a zero, então pelo menos um dos valores tem de ser zero.
Substituir x por qualquer valor diferente das nossas soluções resulta num produto de dois números diferentes de zero, o que significa que o produto certamente não é zero. Portanto, sabemos que as nossas soluções são as únicas possíveis.

Resolver uma equação de segundo grau recorrendo à fatorização

Supõe que queremos resolver a equação x23x10=0, então, temos apenas que fatorizar x23x10 e resolver como anteriormente!
x23x10 pode ser fatorizado como (x+2)(x5).
A solução da equação é a seguinte:
x23x10=0(x+2)(x5)=0Fatorização.
x+2=0x5=0x=2x=5
Agora é a tua vez de resolver algumas equações sozinho. Lembra-te que diferentes equações pedem métodos de fatorização diferentes.

Resolver x2+5x=0.

Passo 1. Fatorizar x2+5x como um produto de duas expressões lineares.

Passo 2. Resolver a equação.
Seleciona a opção correta.

Resolver x211x+28=0.

Passo 1. Fatorizar x211x+28 como um produto de duas expressões lineares.

Passo 2. Resolver a equação.
Seleciona a opção correta.

Resolver 4x2+4x+1=0.

Passo 1. Fatorizar 4x2+4x+1 como um produto de duas expressões lineares.

Passo 2. Resolver a equação.
Seleciona a opção correta.

Resolver 3x2+11x4=0.

Passo 1. Fatorizar 3x2+11x4 como um produto de duas expressões lineares.

Passo 2. Resolver a equação.
Seleciona a opção correta.

Manipular a equação antes da fatorização

Escrever a equação na forma ax2+bx+c=0.

Por exemplo: vê como pode ser resolvida a equação x2+2x=40x.
x2+2x=40xx2+2x40+x=0Subtrair 40 e somar x.x2+3x40=0Combinar termos semelhantes.(x+8)(x5)=0Fatorizar.
x+8=0x5=0x=8x=5
Antes de fatorizar, manipulámos a equação para que todos os termos estivessem no primeiro membro, e o segundo membro fosse zero. Só depois conseguimos fatorizar e usar o nosso método de resolução.

Simplificar a equação dividindo pelos fatores comuns

Por exemplo: vê como pode ser resolvida a equação 2x212x+18=0.
2x212x+18=0x26x+9=0Dividir por 2.(x3)2=0Fatorizar.x3=0x=3
Inicialmente, todos os termos tinham um fator comum igual a 2, então dividimos ambos os membros por 2 — o segundo membro continuou a ser igual zero — o que facilitou a fatorização.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Seleciona as soluções da equação.
2x23x20=x2+34
Seleciona todas as respostas corretas:

Seleciona as soluções da equação.
3x2+33x+30=0
Seleciona todas as respostas corretas:

Seleciona as soluções da equação.
3x29x20=x2+5x+16
Seleciona todas as respostas corretas:

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