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10.ºano

Assunto: 10.ºano > Tema 1

Lição 7: Fatorização de polinómios

Máximo divisor comum de monómios

Aprender a encontrar o MMC (maior monómio comum) de dois monómios ou mais

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

Um monómio é uma expressão que é um produto de constantes e potências de números inteiros (não negativos) de x, como 3, x, squared. Um polinómio é uma soma de monómios.

É possível escrever a fatorização completa de um monómio escrevendo a fatorização do coeficiente em números primos e desenvolvendo a parte literal. Vê o artigo Fatorização de monómios se isto for novo para ti.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender sobre o maior monómio comum (MFC) e como o encontrar em monómios.

Revisão: Maior fator comum em números inteiros

O maior fator comum (MFC) de dois números é o maior número inteiro que é fator de ambos os números. Por exemplo, MFC de 12 e 18 é 6.

É possível encontrar encontrar o MFC para quaisquer dois números, analisando as suas fatorizações em números primos:

12, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 2, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10
18, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, times, 3

Repara que 12 e 18 têm um fator start color #11accd, 2, end color #11accd e um fator start color #e07d10, 3, end color #e07d10 em comum,por isso, o maior fator comum de 12 e 18 é start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, equals, 6.

Maior fator comum em monómios

O processo é semelhante, quando nos é pedido para encontrar o máximo fator comum de dois ou mais monómios.

Basta escrever a fatorização completa de cada monómio e ver os fatores comuns. O produto de todos os fatores comuns será o MFC.

Por exemplo, vamos encontrar o máximo fator comum de 10, x, cubed e 4, x:

10, x, cubed, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 5, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, x, times, x
4, x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 2, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10

Repara que 10, x, cubed e 4, x têm um fator start color #11accd, 2, end color #11accd e um fator start color #e07d10, x, end color #e07d10 em comum. Logo, o seu maior fator comum é start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10 ou 2, x.

Testa o teu conhecimento

1) Qual é o maior fator comum de 9, x, squared e 6, x?

[Preciso de ajuda!]

2) Qual é o maior fator comum de 12, x, start superscript, 5, end superscript e 8, x, cubed?

[Preciso de ajuda!]

3) Qual é o maior fator comum de 5, x, start superscript, 7, end superscript, 30, x, start superscript, 4, end superscript, e 10, x, cubed?

[Preciso de ajuda!]

Uma nota sobre a parte literal do MFC

Em geral, a parte literal do MFC de quaisquer dois ou mais monómios será igual à parte literal do monómio com o expoente mais baixo de x.

Por exemplo, considera os monómios start color #11accd, 6, end color #11accd, start color #e07d10, x, start superscript, 5, end superscript, end color #e07d10 e start color #11accd, 4, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10:

Uma vez que o menor expoente de x é start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, esta será a parte literal do MFC.
É possível então encontrar o MFC de start color #11accd, 6, end color #11accd e start color #11accd, 4, end color #11accd, que é start color #11accd, 2, end color #11accd, e multiplicar por start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10para se obter start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, o maior monómio comum dos monómios!

\begin{aligned} \text{O MFC entre }\blueD 6\text{ e }\blueD 4\text{ é }\blueD 2\qquad&\quad\text{O menor expoente entre }\goldD{x^5}\text{ e }\goldD{x^2}\text{ pertence a }\goldD{x^2} \\ \searrow\quad&\quad\swarrow \\ \LARGE\text{MFC}(\blueD 6\goldD{x^5},\blueD 4\goldD{x^2})=\blueD 2&\LARGE \goldD{x^2} \end{aligned}

[Gostava de verificar isto usando o método de fatorização.]

Isto é especialmente útil para entender quando encontrar o MFC de monómios com grandes expoentes de x. Por exemplo, seria muito aborrecido fatorizar completamente monómios como 32, x, start superscript, 100, end superscript e 16, x, start superscript, 88, end superscript!

Problemas desafio

4*)Qual é o maior fator comum de 20, x, start superscript, 76, end superscript e 8, x, start superscript, 92, end superscript?

[Preciso de ajuda!]

5*)Qual é o maior fator comum de 40, x, start superscript, 5, end superscript, y, squared e 32, x, squared, y, cubed?

[Preciso de ajuda!]

O que se segue?

Para ver como podemos usar estas competências para fatorizar polinómios, vê o nosso próximo artigo sobre colocar o maior factor comum em evidência!

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