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10.ºano

Assunto: 10.ºano  > Tema 1

Lição 7: Fatorização de polinómios
Matemática
10.ºano
Álgebra
Fatorização de polinómios
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Máximo divisor comum de monómios

Google Classroom
Aprender a encontrar o m.d.c (máximo divisor comum) de dois monómios ou mais

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

Um monómio é uma expressão que é um produto de constantes e potências de números inteiros (não negativos) de x, como 3, x, squared. Um polinómio é uma soma de monómios.
É possível escrever a fatorização completa de um monómio escrevendo a fatorização do coeficiente em números primos e desenvolvendo a parte literal. Vê o artigo Fatorização de monómios se isto for novo para ti.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender como encontrar o máximo divisor comum de dois monómios (e vários monómios).

Revisão: Máximo divisor comum em números inteiros

O máximo divisor comum (m. d. c.) de dois números é o maior número inteiro que é divisor de ambos os números. Por exemplo, m. d. c. de 12 e 18 é 6.
É possível encontrar encontrar o m.d.c. para quaisquer dois números, analisando as suas decomposições em fatores primos:
  • 12, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 2, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10
  • 18, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, times, 3
Repara que 12 e 18 têm um divisor start color #11accd, 2, end color #11accd e um divisor start color #e07d10, 3, end color #e07d10 em comum,por isso, o máximo divisor comum de 12 e 18 é start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, equals, 6.

Máximo divisor comum em monómios

O processo é semelhante, quando nos é pedido para encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais monómios.
Basta escrever a fatorização completa de cada monómio e ver os fatores comuns. O produto de todos os fatores comuns será o m.d.c..
Por exemplo, vamos encontrar o máximo divisor comum de 10, x, cubed e 4, x:
  • 10, x, cubed, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 5, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, x, times, x
  • 4, x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 2, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Repara que 10, x, cubed e 4, x têm um fator start color #11accd, 2, end color #11accd e um fator start color #e07d10, x, end color #e07d10 em comum. Logo, o máximo divisor comum é start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10 ou 2, x.

Testa o teu conhecimento

1) Qual é o máximo divisor comum de 9, x, squared e 6, x?
Seleciona a opção correta.

2) Qual é o máximo divisor comum de 12, x, start superscript, 5, end superscript e 8, x, cubed?

3) Qual é o máximo divisor comum de 5, x, start superscript, 7, end superscript, 30, x, start superscript, 4, end superscript, e 10, x, cubed?

Uma nota sobre a parte literal do m.d.c entre monómios

A parte literal do máximo divisor comum de dois ou mais monómios é igual à parte literal do monômio com o menor expoente.
Por exemplo, considera os monómios start color #11accd, 6, end color #11accd, start color #e07d10, x, start superscript, 5, end superscript, end color #e07d10 e start color #11accd, 4, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10:
  • Uma vez que o menor expoente de x é start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, esta será a parte literal do máximo divisor comum.
  • É possível então encontrar o máximo divisor comum de start color #11accd, 6, end color #11accd e start color #11accd, 4, end color #11accd, que é start color #11accd, 2, end color #11accd, e multiplicar por start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10para se obter start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, o maior monómio comum dos monómios!
O m.d.c. entre 6 e 4 eˊ 2O menor expoente entre x5 e x2 pertence a x2↘↙m.d.c.(6x5,4x2)=2x2\begin{aligned} \text{O m.d.c. entre }\blueD 6\text{ e }\blueD 4\text{ é }\blueD 2\qquad&\quad\text{O menor expoente entre }\goldD{x^5}\text{ e }\goldD{x^2}\text{ pertence a }\goldD{x^2} \\ \searrow\quad&\quad\swarrow \\ \LARGE\text{m.d.c.}(\blueD 6\goldD{x^5},\blueD 4\goldD{x^2})=\blueD 2&\LARGE \goldD{x^2} \end{aligned}
Esse método é particularmente útil ao procurar o máximo divisor comum de monómios cujas partes literais têm expoentes muito grandes. Por exemplo, levaria muito tempo para usar a decomposição máxima dos monómios 32, x, start superscript, 100, end superscript e 16, x, start superscript, 88, end superscript para encontrar seu máximo divisor comum!

Problemas desafio

4*)Qual é o máximo divisor comum de 20, x, start superscript, 76, end superscript e 8, x, start superscript, 92, end superscript?

5*)Qual é o máximo divisor comum de 40, x, start superscript, 5, end superscript, y, squared e 32, x, squared, y, cubed?

O que se segue?

Para ver como podemos usar estas competências para fatorizar polinómios, vê o nosso próximo artigo sobre colocar o máximo divisor comum em evidência!

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