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10.ºano

Assunto: 10.ºano  > Tema 1

Lição 7: Fatorização de polinómios
Matemática
10.ºano
Álgebra
Fatorização de polinómios
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Outro método para fatorizar expressões de 2.º grau

Google Classroom
Aprender mais sobre um outro método de fatorizar. Por exemplo, podemos utilizá-lo para escrever 2x² + 8x + 3x + 12 como (2x+3)(x+4).

O que precisas saber para esta lição

Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, obtemos expressões que, multiplicadas, nos dão o pilonómio original.
Temos visto vários exemplos de fatorização já. No entanto, neste artigo, deves estar principalmente familiarizado com colocar fatores comuns em evidência, usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, vamos aprender a fatorizar usando um método para agrupar termos.

Exemplo 1: Fatorizar 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12

Primeiro, repara que não há nenhum fator comum a todos os termos em 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12. No entanto, se agruparmos os termos dois a dois, ficamos com dois polinómios cujos termos têm fatores em comum. O maior fator comum de um polinómio, ou MFC, é a maior expressão que divide todos os seus termos.
Em particular, podemos identificar fatores comuns de 2, x no primeiro grupo e de 3 no segundo grupo. Podemos colocar estes fatores em evidência de forma a obter a seguinte expressão:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Repara que isto revela ainda um outro fator comum entre os dois termos: start color #e07d10, x, plus, 4, end color #e07d10. Podemos usar a propriedade distributiva para colocar este fator comum em evidência.
Uma vez que o polinómio é agora expresso como um produto de dois binómios, está na forma fatorizada. Podemos verificar, multiplicando e comparando a expressão com a do polinómio original.

Exemplo 2: Fatorizar 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8

Vamos resumir o que foi feito acima fatorizando outro polinómio.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Agrupar termos=3x(x+2)+4(x+2)Colocar 3x e 4 em evideˆncia=3x(x+2)+4(x+2)Fator comum!=(x+2)(3x+4)Colocar em evideˆncia (x+2)\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{Agrupar termos}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{Colocar $3x$ e $4$ em evidência}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{Fator comum!}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{Colocar em evidência } (x+2) }} \end{aligned}
A forma fatorizada é left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4.

3) Fatoriza 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3.

Exemplo 3: Fatoriza 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8

É preciso cuidado extra ao usar o método de agrupamento para fatorizar um polinómio com coeficientes negativos.
Por exemplo, os passos abaixo podem ser usados para fatorizar 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)Agrupar termos(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)Colocar os MFC em evideˆncia(3)=3x(x−2)−4(x−2)Simplify(4)=3x(x−2)−4(x−2)Fator comum!(5)=(x−2)(3x−4)Colocar x−2 em evideˆncia\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{Agrupar termos}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{Colocar os MFC em evidência}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{Simplify}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{Fator comum!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Colocar $x-2$ em evidência}}}\\\\ \end{aligned}
A forma fatorizada do polinómio é (x-2)(3x-4). Podemos multiplicar os binómios para verificar a resposta.
Alguns dos passos acima podem parecer diferentes do que viste no primeiro exemplo, por isso és capaz de ter algumas perguntas.
De onde veio o sinal "+" entre os dois grupos?
No passo 1 start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd, foi adicionado um sinal "+" entre os grupos left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis e left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Isto deve-se ao facto do terceiro grupo ser negativo, left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis, e o sinal do termo ter de ser incluído no grupo.
Manter o sinal de subtração fora do segundo grupo é complicado. Por exemplo, um erro comum é agrupar3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 como left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis. No entanto, este grupo, simplifica-se para 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c, que não é igual à expressão original.
Colocar minus, 4 em evidência em vez de 4, porquê?
No passo start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, colocámos minus, 4 em evidência para revelar um fator comum de left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis entre os termos. Se em vez disso tivessemos colocado um 4 positivo , não teríamos obtido o fator binomial comum que vimos em cima:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Quando o termo principal de um grupo é negativo, vai ser necessário colocar em evidência um fator comum negativo.

Testa o teu conhecimento

4) Fatoriza 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10.

6) Fatoriza 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2.

Problema desafio

7*) Fatoriza 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15.

Quando é que podemos usar o método de agrupar?

O método de agrupar pode ser usado para fatorizar polinómios sempre que existir um fator comum entre os agrupamentos.
Por exemplo, podemos usar o método de agrupar para fatorizar 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6 uma vez que pode ser escrito da seguinte forma:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
Não podemos, no entanto, usar o método de agrupar para fatorizar 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12 porque colocar os MFC em evidência nos dois agrupamentos não origina um fator comum!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Agrupar para fatorizar expressões com três termos

Também podemos agrupar para fatorizar certas expressões quadráticas de três termos, como por exemplo 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3. Isto deve-se a podermos reescrever a expressão da seguinte forma:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Podemos então agrupar para fatorizar 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3 como left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
Para saber mais sobre fatorizar expressões quadráticas como estas, usando o método de agrupar, vê o nosso próxim artigo.

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