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10.ºano
Assunto: 10.ºano > Tema 1
Lição 9: Estudo do sinal de uma função polinomial- Multiplicidade dos zeros de polinómios
- Zeros de polinómios (multiplicação)
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- Zeros de polinómios e seus gráficos
- Zeros de polinómios e seus gráficos
- Intervalos positivos e negativos
- Intervalos positivos e negativos dos polinómios
- Intervalos positivos e negativos dos polinómios
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Zeros de polinómios e seus gráficos
Aprende sobre a relação entre zeros, raízes e pontos de interseção com o eixo Ox de polinómios. Sabe mais sobre a multiplicidade de zeros.
O que vais aprender nesta lição
Quando estudamos polinómios, normalmente falamos em zeros, raízes, fatorização e interseção com o eixo dos x, x.
Neste artigo, vamos explorar estas características de polinómios e a relação especial que têm entre si.
Equivalências para funções polinomiais
Para um polinómio f e um número real k, as seguintes afirmações são equivalentes:
- x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 é uma raiz, ou solução, da equação f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
- start color #01a995, k, end color #01a995 é um zero da função f
- left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis é a interseção com o eixo dos x, x do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis
- x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 é um múltiplo de grau 1 de f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Vamos compreender isto usando como exemplo o polinómio g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, que pode ser escrito como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Primeiro, vamos ver que g, left parenthesis, x, right parenthesis se decompõe nos polinómios left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis e left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Se resolvermos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, obtemos x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 ou x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Estas são as soluções, ou raízes, da equação.
Um zero de uma função é um valor de x para o qual a função toma o valor 0. Como sabemos que x, equals, 3 e x, equals, minus, 2 são soluções de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, então start color #01a995, 3, end color #01a995 e start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 são zeros da função g.
Finalmente, as interseções com o eixo dos x, x do gráfico de y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis satisfazem a equação 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, que foi resolvida acima. As interseções da equação com o eixo dos x, x são left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis.
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Zeros e multiplicidade
O número de vezes que um fator linear ocorre na fatorização de um polinómio corresponde à multiplicidade do zero correspondente.
Por exemplo, no polinómio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript, o número 4 é um zero com multiplicidade start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Tem em conta que quando expandimos f, left parenthesis, x, right parenthesis, o fator left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis vem escrito start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff vezes.
Por isso, de certo modo, quando resolves f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, obtens x, equals, 4 duas vezes.
Em geral, se x, minus, k ocorrer m vezes na fatorização de um polinómio, então k é um zero com multiplicidade m. Um zero com multiplicidade 2 é denominado de zero duplo.
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Interpretação gráfica
A multiplicidade de uma raiz é importante porque diz-nos como é que o gráfico do polinómio se comporta próximo da raiz.
Por exemplo, nota que o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared se comporta de maneira diferente perto da raiz 1 do que perto da raiz 4, que é uma raiz dupla.
Mais concretamente, o gráfico interseta o eixo dos x, x no ponto x, equals, 1, enquanto que é apenas tangente ao eixo dos x, x no ponto x, equals, 4.
Vamos olhar para o gráfico de uma função que tem os mesmos zeros, mas multiplicidades diferentes. Por exemplo, considera g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Nota que para esta função, o 1 é um zero duplo, enquanto que o 4 é um zero de multiplicidade 1.
Agora vemos que o gráfico de g é tangente ao eixo dos x, x no ponto x, equals, 1 e interseta o eixo dos x, x no ponto x, equals, 4.
Em geral, se uma função f tem um zero com multiplicidade ímpar, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis irá intersetar o eixo dos x, x nesse valor x. Se uma função f tem uma raiz com multiplicidade par, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis será tangente ao eixo dos x, x nesse ponto.
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