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Zeros de polinómios e seus gráficos

Aprende sobre a relação entre zeros, raízes e pontos de interseção com o eixo Ox de polinómios. Sabe mais sobre a multiplicidade de zeros.

O que vais aprender nesta lição

Quando estudamos polinómios, normalmente falamos em zeros, raízes, fatorização e interseção com o eixo dos xx.
Neste artigo, vamos explorar estas características de polinómios e a relação especial que têm entre si.

Equivalências para funções polinomiais

Para um polinómio f e um número real k, as seguintes afirmações são equivalentes:
  • x=k é uma raiz, ou solução, da equação f(x)=0
  • k é um zero da função f
  • (k,0) é a interseção com o eixo dos xx do gráfico de y=f(x)
  • xk é um múltiplo de grau 1 de f(x).
Vamos compreender isto usando como exemplo o polinómio g(x)=(x3)(x+2), que pode ser escrito como g(x)=(x3)(x(2)).
Primeiro, vamos ver que g(x) se decompõe nos polinómios (x3) e (x(2)).
Se resolvermos g(x)=0, obtemos x=3 ou x=2. Estas são as soluções, ou raízes, da equação.
Um zero de uma função é um valor de x para o qual a função toma o valor 0. Como sabemos que x=3 e x=2 são soluções de g(x)=0, então 3 e 2 são zeros da função g.
Finalmente, as interseções com o eixo dos xx do gráfico de y=g(x) satisfazem a equação 0=g(x), que foi resolvida acima. As interseções da equação com o eixo dos xx são (3,0) e (2,0).

Testa o teu conhecimento

1) Quais é que são os zeros de f(x)=(x+4)(x7)?
Seleciona a opção correta.

2) O gráfico da função g interseta o eixo dos xx no ponto (2,0). Qual é que deve ser a raiz da equação g(x)=0?
x=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

3) Os zeros da função h são 1 e 3. Qual dos seguintes é que poderia ser h(x)?
Seleciona a opção correta.

Zeros e multiplicidade

O número de vezes que um fator linear ocorre na fatorização de um polinómio corresponde à multiplicidade do zero correspondente.
Por exemplo, no polinómio f(x)=(x1)(x4)2, o número 4 é um zero com multiplicidade 2.
Tem em conta que quando expandimos f(x), o fator (x4) vem escrito 2 vezes.
f(x)=(x1)(x4)(x4)
Por isso, de certo modo, quando resolves f(x)=0, obtens x=4 duas vezes.
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4
Em geral, se xk ocorrer m vezes na fatorização de um polinómio, então k é um zero com multiplicidade m. Um zero com multiplicidade 2 é denominado de zero duplo.

Testa o teu conhecimento

4) Qual é o zero de f(x)=(x3)(x1)3 que tem multiplicidade 3?
Seleciona a opção correta.

5) Qual é o zero de g(x)=(x+1)3(2x+1)2 que é um zero duplo?
Seleciona a opção correta.

Interpretação gráfica

A multiplicidade de uma raiz é importante porque diz-nos como é que o gráfico do polinómio se comporta próximo da raiz.
Por exemplo, nota que o gráfico de f(x)=(x1)(x4)2 se comporta de maneira diferente perto da raiz 1 do que perto da raiz 4, que é uma raiz dupla.
Mais concretamente, o gráfico interseta o eixo dos xx no ponto x=1, enquanto que é apenas tangente ao eixo dos xx no ponto x=4.
Vamos olhar para o gráfico de uma função que tem os mesmos zeros, mas multiplicidades diferentes. Por exemplo, considera g(x)=(x1)2(x4). Nota que para esta função, o 1 é um zero duplo, enquanto que o 4 é um zero de multiplicidade 1.
Agora vemos que o gráfico de g é tangente ao eixo dos xx no ponto x=1 e interseta o eixo dos xx no ponto x=4.
Em geral, se uma função f tem um zero com multiplicidade ímpar, o gráfico de y=f(x) irá intersetar o eixo dos xx nesse valor x. Se uma função f tem uma raiz com multiplicidade par, o gráfico de y=f(x) será tangente ao eixo dos xx nesse ponto.

Testa o teu conhecimento

6) Na função desenhada, a multiplicidade da raiz 6 é par ou ímpar?
Seleciona a opção correta.

7) Qual é o gráfico de h(x)=x2(x3)?
Seleciona a opção correta.

Desafio

8*) Qual é o gráfico de f(x)=x3+4x24x?
Seleciona a opção correta.

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