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10.ºano

Assunto: 10.ºano  > Tema 1

Lição 9: Estudo do sinal de uma função polinomial
Matemática
10.ºano
Álgebra
Estudo do sinal de uma função polinomial
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Zeros de polinómios e seus gráficos

Google Classroom
Aprende sobre a relação entre zeros, raízes e pontos de interseção com o eixo Ox de polinómios. Sabe mais sobre a multiplicidade de zeros.

O que vais aprender nesta lição

Quando estudamos polinómios, normalmente falamos em zeros, raízes, fatorização e interseção com o eixo dos x, x.
Neste artigo, vamos explorar estas características de polinómios e a relação especial que têm entre si.

Equivalências para funções polinomiais

Para um polinómio f e um número real k, as seguintes afirmações são equivalentes:
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 é uma raiz, ou solução, da equação f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
  • start color #01a995, k, end color #01a995 é um zero da função f
  • left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis é a interseção com o eixo dos x, x do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis
  • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 é um múltiplo de grau 1 de f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Vamos compreender isto usando como exemplo o polinómio g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, que pode ser escrito como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Primeiro, vamos ver que g, left parenthesis, x, right parenthesis se decompõe nos polinómios left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis e left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Se resolvermos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, obtemos x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 ou x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Estas são as soluções, ou raízes, da equação.
Um zero de uma função é um valor de x para o qual a função toma o valor 0. Como sabemos que x, equals, 3 e x, equals, minus, 2 são soluções de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, então start color #01a995, 3, end color #01a995 e start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 são zeros da função g.
Finalmente, as interseções com o eixo dos x, x do gráfico de y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis satisfazem a equação 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, que foi resolvida acima. As interseções da equação com o eixo dos x, x são left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis.

Testa o teu conhecimento

1) Quais é que são os zeros de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.

2) O gráfico da função g interseta o eixo dos x, x no ponto left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis. Qual é que deve ser a raiz da equação g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0?
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Os zeros da função h são minus, 1 e 3. Qual dos seguintes é que poderia ser h, left parenthesis, x, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.

Zeros e multiplicidade

O número de vezes que um fator linear ocorre na fatorização de um polinómio corresponde à multiplicidade do zero correspondente.
Por exemplo, no polinómio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript, o número 4 é um zero com multiplicidade start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Tem em conta que quando expandimos f, left parenthesis, x, right parenthesis, o fator left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis vem escrito start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff vezes.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
Por isso, de certo modo, quando resolves f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, obtens x, equals, 4 duas vezes.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
Em geral, se x, minus, k ocorrer m vezes na fatorização de um polinómio, então k é um zero com multiplicidade m. Um zero com multiplicidade 2 é denominado de zero duplo.

Testa o teu conhecimento

4) Qual é o zero de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed que tem multiplicidade 3?
Seleciona a opção correta.

5) Qual é o zero de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared que é um zero duplo?
Seleciona a opção correta.

Interpretação gráfica

A multiplicidade de uma raiz é importante porque diz-nos como é que o gráfico do polinómio se comporta próximo da raiz.
Por exemplo, nota que o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared se comporta de maneira diferente perto da raiz 1 do que perto da raiz 4, que é uma raiz dupla.
Mais concretamente, o gráfico interseta o eixo dos x, x no ponto x, equals, 1, enquanto que é apenas tangente ao eixo dos x, x no ponto x, equals, 4.
Vamos olhar para o gráfico de uma função que tem os mesmos zeros, mas multiplicidades diferentes. Por exemplo, considera g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Nota que para esta função, o 1 é um zero duplo, enquanto que o 4 é um zero de multiplicidade 1.
Agora vemos que o gráfico de g é tangente ao eixo dos x, x no ponto x, equals, 1 e interseta o eixo dos x, x no ponto x, equals, 4.
Em geral, se uma função f tem um zero com multiplicidade ímpar, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis irá intersetar o eixo dos x, x nesse valor x. Se uma função f tem uma raiz com multiplicidade par, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis será tangente ao eixo dos x, x nesse ponto.

Testa o teu conhecimento

6) Na função desenhada, a multiplicidade da raiz 6 é par ou ímpar?
Seleciona a opção correta.

7) Qual é o gráfico de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.

Desafio

8*) Qual é o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x?
Seleciona a opção correta.

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