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10.ºano

Assunto: 10.ºano > Tema 1

Lição 9: Estudo do sinal de uma função polinomial

Intervalos positivos e negativos dos polinómios

Sabe mais sobre a relação entre os zeros de polinómios e os conjuntos de valores para os quais os polinómios são positivos ou negativos.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

As raízes de um polinómio f correspondem às interseções do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis com o eixo dos x, x.

Por exemplo, vamos supor que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Como as raízes da função f são minus, 3 e 1, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis irá intersetar o eixo dos x, x em left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.

Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo sobre zeros de polinómios.

O que vais aprender nesta lição

Precisamos de mais informação de forma a fazermos um bom esboço, embora as interseções com o eixo dos x, x sejam uma característica importante do gráfico de uma função.

Conhecendo o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode ajudar-nos a fazer um esboço do gráfico da sua função.

Neste artigo, vamos aprender como determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo e relacionar com o gráfico.

Intervalos positivos e negativos

O sinal de um polinómio entre quaisquer duas raízes consecutivas é sempre positivo ou sempre negativo.

[Porquê?]

Por exemplo, considera a função representada definida por f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

A partir do gráfico, vemos que f, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre ...

...negativa quando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
...positiva quando minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
...negativa quando 1, is less than, x, is less than, 3.
...positiva quando 3, is less than, x, is less than, infinity.

No entanto, não é necessário que uma função polinomial mude de sinal entre as raízes.

Por exemplo, considera a função representada definida por g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

A partir do gráfico, vemos que g, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre...

...negativa quando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.- ...positiva quando minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
...negativa quando 0, is less than, x, is less than.
...positiva quando is less than, x, is less than, infinity.

Repara que g, left parenthesis, x, right parenthesis não muda de sinal em torno de x, equals, minus, 2.

Determinar o sinal de uma função polinomial

Vamos encontrar os intervalos para o quais o polinómio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared é positivo e os intervalos para os quais é negativo.

A função f anula-se em minus, 3 e 1. Estes dois números determinam três intervalos nos quais o signal de f é constante:

Vamos encontrar o sinal de f para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.

Sabemos que f será sempre positiva ou negativa neste intervalo. Podemos saber o sinal de f avaliando a função para um valor neste intervalo. Como minus, 4 está neste intervalo, vamos encontrar f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.

Como aqui só estamos interessados no sinal do polinómio, não nos interessa conhecer o valor exato de f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.

\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2\\ \\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&\small{\gray{\text{Avalia apenas o sinal da resposta.}}}\\\\ &=(-)(+)&&\small{\gray{\text{Um sinal negativo ao quadrado é um sinal positivo.}}}\\ \\ &=-&&\small{\gray{\text{Um sinal negativo a multiplicar por um sinal positivo é um sinal negativo.}}}\end{aligned}

Aqui vemos que f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis é negativo, e portanto f, left parenthesis, x, right parenthesis será sempre negativo para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.

Podemos repetir o processo para os intervalos que restam.

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

A tabela abaixo mostra um resumo dos resultados.

Intervalo	Valor de f, left parenthesis, x, right parenthesis para um x específico dentro do intervalo	Sinal de f no intervalo	Conexão com o gráfico de f
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3	f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0	negativo	Abaixo do eixo dos x, x
minus, 3, is less than, x, is less than, 1	f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0	positivo	Acima do eixo dos x, x
1, is less than, x, is less than, infinity	f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0	positivo	Acima do eixo dos x, x

Isto é consistente com o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Testa o teu conhecimento

1) A função polinomial g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis tem raízes x, equals, minus, 6 e x, equals, minus, 1.

Qual é o sinal de g no intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?

(Escolha A)
g, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre positiva no intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Escolha B)
g, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre negativa no intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Escolha C)
g, left parenthesis, x, right parenthesis é positiva e negativa no intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.

[Preciso de ajuda!]

5) A função polinomial h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis tem raízes x, equals, minus, 5, x, equals, 2, e x, equals, 3.

Qual é o sinal de h, left parenthesis, x, right parenthesis no intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2?

(Escolha A)
h, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre positiva no intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Escolha B)
h, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre negativa no intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Escolha C)
h, left parenthesis, x, right parenthesis é positiva e negativa no intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2.

[Preciso de ajuda!]

Desafio

3*) Qual dos gráficos seguintes pode ser o gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed?

[Preciso de ajuda!]

Determinar os intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico

Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo é fazendo um esboço do seu gráfico, com base nas multiplicidades das raízes e no comportamento do polinómio no limite infinito.

Vê o nosso artigo sobre gráficos de polinómios para mais detalhes.

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