Conteúdo principal
10.ºano
Assunto: 10.ºano > Tema 1
Lição 9: Estudo do sinal de uma função polinomial- Multiplicidade dos zeros de polinómios
- Zeros de polinómios (multiplicação)
- Zeros de polinómios (multiplicação)
- Zeros de polinómios e seus gráficos
- Zeros de polinómios e seus gráficos
- Intervalos positivos e negativos
- Intervalos positivos e negativos dos polinómios
- Intervalos positivos e negativos dos polinómios
© 2023 Khan AcademyTermos de utilizaçãoPolítica de privacidadePolítica de cookies
Intervalos positivos e negativos dos polinómios
Sabe mais sobre a relação entre os zeros de polinómios e os conjuntos de valores para os quais os polinómios são positivos ou negativos.
Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição
As raízes de um polinómio f correspondem às interseções do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis com o eixo dos x, x.
Por exemplo, vamos supor que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Como as raízes da função f são minus, 3 e 1, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis irá intersetar o eixo dos x, x em left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.
Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo sobre zeros de polinómios.
O que vais aprender nesta lição
Precisamos de mais informação de forma a fazermos um bom esboço, embora as interseções com o eixo dos x, x sejam uma característica importante do gráfico de uma função.
Conhecendo o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode ajudar-nos a fazer um esboço do gráfico da sua função.
Neste artigo, vamos aprender como determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo e relacionar com o gráfico.
Intervalos positivos e negativos
O sinal de um polinómio entre quaisquer duas raízes consecutivas é sempre positivo ou sempre negativo.
Por exemplo, considera a função representada definida por f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.
A partir do gráfico, vemos que f, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre ...
- ...negativa quando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
- ...positiva quando minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
- ...negativa quando 1, is less than, x, is less than, 3.
- ...positiva quando 3, is less than, x, is less than, infinity.
No entanto, não é necessário que uma função polinomial mude de sinal entre as raízes.
Por exemplo, considera a função representada definida por g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
A partir do gráfico, vemos que g, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre...
- ...negativa quando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.- ...positiva quando minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
- ...negativa quando 0, is less than, x, is less than.
- ...positiva quando is less than, x, is less than, infinity.
Repara que g, left parenthesis, x, right parenthesis não muda de sinal em torno de x, equals, minus, 2.
Determinar o sinal de uma função polinomial
Vamos encontrar os intervalos para o quais o polinómio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared é positivo e os intervalos para os quais é negativo.
A função f anula-se em minus, 3 e 1. Estes dois números determinam três intervalos nos quais o signal de f é constante:
Vamos encontrar o sinal de f para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Sabemos que f será sempre positiva ou negativa neste intervalo. Podemos saber o sinal de f avaliando a função para um valor neste intervalo. Como minus, 4 está neste intervalo, vamos encontrar f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Como aqui só estamos interessados no sinal do polinómio, não nos interessa conhecer o valor exato de f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Aqui vemos que f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis é negativo, e portanto f, left parenthesis, x, right parenthesis será sempre negativo para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Podemos repetir o processo para os intervalos que restam.
A tabela abaixo mostra um resumo dos resultados.
Intervalo | Valor de f, left parenthesis, x, right parenthesis para um x específico dentro do intervalo | Sinal de f no intervalo | Conexão com o gráfico de f |
---|---|---|---|
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 | f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0 | negativo | Abaixo do eixo dos x, x |
minus, 3, is less than, x, is less than, 1 | f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0 | positivo | Acima do eixo dos x, x |
1, is less than, x, is less than, infinity | f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0 | positivo | Acima do eixo dos x, x |
Isto é consistente com o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Testa o teu conhecimento
Desafio
Determinar os intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico
Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo é fazendo um esboço do seu gráfico, com base nas multiplicidades das raízes e no comportamento do polinómio no limite infinito.
Vê o nosso artigo sobre gráficos de polinómios para mais detalhes.
Queres participar na conversa?
Ainda não há comentários.